1、03第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理课时过关能力提升1.设f(n)=1+12+13+13n-1(nN*),则f(n+1)-f(n)等于()A.13n+2B.13n+13n+1C.13n+1+13n+2D.13n+13n+1+13n+2解析:因为f(n)=1+12+13+13n-1,所以f(n+1)=1+12+13+13n-1+13n+13n+1+13n+2.所以f(n+1)-f(n)=13n+13n+1+13n+2.答案:D2.某个命题与正整数n有关,若当n=k(kN*)时该命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立,则可推得()A.当n=6时
2、该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立解析:如果n=4时命题成立,那么由题设,n=5时命题也成立.上面的判断作为一个命题,那么它的逆否命题是:如果n=5时命题不成立,那么n=4时命题也不成立.原命题成立,它的逆否命题一定成立.答案:C3.用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证当n=k+1时命题成立,需将当n=k+1时的原式表示成()A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对答案:C4.若命题P(n)对n=k(k1,kN*)成立,则
3、它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有()A.正整数n成立B.正偶数n成立C.正奇数n成立D.大于1的自然数n成立答案:B5.用数学归纳法证明:设f(n)=1+12+13+1n,则n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)(nN*,且n2)第一步要证明的式子是.解析:当n=2时,等式左边=2+f(1),右边=2f(2).答案:2+f(1)=2f(2)6.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1),从k到k+1左端需增乘的代数式为.解析:当n=k时,(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),而当n=k+1时,(k+2)(k+3
4、)2k(2k+1)(2k+2)=2k+113(2k-1)(2k+1),所以左端需增乘的代数式为(2k+1)(2k+2)k+1=2(2k+1).答案:2(2k+1)7.证明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN*).证明(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(kN*,且k1)时,等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k
5、+1)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)2(k+1)+1,故当n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)可知,等式对任何nN*都成立.8.已知f(n)=(2n+7)3n+9,是否存在自然数m,使得对任意nN*,都能使m整除f(n)?如果存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解:存在,m=36.证明如下:(1)当n=1时,f(1)=36,能被36整除;(2)假设当n=k(kN*,且k1)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1).由归纳假设3(2k+7)3k+9能被36整除.因为3k-1-1是偶数,所以18(3k-1-1)能被36整除,所以f(k+1)能被36整除.根据(1)(2)可知,f(n)能被36整除.因为f(1)=36,所以能整除f(n)的最大整数是36,即m=36.