1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。82函数与数学模型82.1几个函数模型的比较1“指数爆炸”的含义：指数函数yax(a0且a1)随着x的增大a1时y增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势0a1)，幂函数yx(0)和对数函数ylogax(a1)，当x足够大时，总有axxlogax(1)本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异(2)应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律1小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶
2、与以上事件吻合得最好的图象是()【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.2(2021无锡高一检测)下列函数中随x的增长而增长最快的是()Ayex Byln x Cyx100 Dy2x【解析】选A.由于yex是指数函数，yln x是对数函数，yx100是幂函数，y2x指数函数，由于当x足够大时，指数函数的增长速度最快，呈爆炸式增长，且2个指数函数的底数分别为e和2，且e2，故增长速度最快的是yex.3如图，点M为ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且
3、直线l与ABCD的另一边交于点N.当点M从AB匀速运动时，设点M的运动时间为t，AMN的面积为S，能大致反映S与t的函数关系的图象是()【解析】选C.假设A45，AD2，AB4，点M的速度为1，则当0t2时，AMMNt，则St2，为二次函数；当2t4时，St，为一次函数4已知：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)_(填序号)(1)ya；(2)yabx；(3)yalogbx；(4)yabx.【解析】由表知x可以取“0”，排除(1)，(3)，对于(2)：当x0时，ya1，所以a1，当x1
4、时，yab2.02.b可以取1，当x2时，y123；当x3时，y134与表中各数据相差较大，可知只有(4)正确答案：(4)5在同一坐标系中，画出函数yx5和y2x在(0，)上的图象，并比较x5与2x的大小【解析】函数yx5与y2x的图象如图所示：当00，xnlogaxC对任意的x0，axlogaxD不一定存在x0，当xx0时，总有axxnlogax【解析】选D.对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B、C，当0a1，n0时，一定存在x0，使得当xx0时，总有axxnlogax，但若去掉限制条件“a1，n0”，则结论不
5、成立3某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y2t2By2tCylog2t Dyt3【解析】选C.根据图中的特殊点(2，1)，(4，2)，通过选项可知只有C：ylog2t满足题意4某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元(4x10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据：lg 20.3，lg 30.48，lg 50.7
6、)()Ay0.4xBylg x1Cyx Dy1.125x【解析】选B.由题意，知符合公司要求的模型只需满足：当x4，10时，函数为增函数；函数的最大值不超过2；yx.选项A中，y0.4x满足，但当x5时，y2，不满足；选项B中，ylg x1满足，当x10时，y取得最大值2，作出函数ylg x1和函数yx的图象(图略)，可知该函数满足，故B项满足公司要求；选项C中，yx满足，但当x4时，y2，不满足；选项D中，y1.125x满足，但当xlog2时，y2，不满足.5.植物研究者在研究某种植物15年内的植株高度时，将得到的数据用散点图直观表示现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在15年内的生
7、长规律，下列函数模型中符合要求的是()Aykaxb(k0，a0，且a1)Byklogaxb(k0，a0，且a1)Cyb(k0)Dyax2bxc(a0)【解析】选B.由散点图可知函数单调递增，但是趋于平缓，选项A：若a(0，1)，则它在(0，)上递减，a(1，)，它在(0，)上递增且递增速率变大，故A错误；选项B：若a(0，1)，则它在(0，)上递减，若a(1，)，它在(0，)上递增且递增速率变小，B正确；选项C：当k0时，在(0，)上递减，C错误；选项D：当a0时，它开口向上，与散点图不相符，D错误6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2
8、 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是()A甲同学从家出发到乙同学家走了60 minB甲从家到公园的时间是30 minC甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D当0x30时，y与x的关系式为yx【解析】选BD.在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0x30时，设ykx(k0)，则230k，解得k，故yx，D正确7(多选)能使不等式log2xx
9、22x一定成立的x的取值范围是()A(0，) B(2，)C(0，2) D(4，)【解析】选CD.作出ylog2x，yx2，y2x的图象，由图象可知，当0x4时，log2xx22x.二、填空题8某学校开展研究性学习活动，一组同学得到表中的实验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数：y0.58x0.16；y2x3.02；yx25.5x8；ylog2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_【解析】画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选.答案：9若已知16xlog2x；x4或x16时，xlog2x；在
10、(4，16)内，xlog2x.答案：xlog2x三、解答题10画出函数f(x)与函数g(x)x2的图象，并比较两者在0，)上的大小关系【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图根据图象易得：当0xg(x)；当x4时，f(x)g(x)；当x4时，f(x)g(x).11有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30 h以内(含30 h)90元，超过30 h的部分每小时2元某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15 h，也不超过40 h.(1)设在甲健身中心活动x h的收费为f(x)，在乙健身中心活动x h的收费为g(x
11、)，试求f(x)和g(x)；(2)选择哪家健身中心比较合算？为什么？【解析】(1)f(x)5x，15x40，g(x)(2)当5x90时，x18，即当15x18时，f(x)g(x)；当x18时，f(x)g(x).当18g(x).所以当15x18时，选甲健身中心比较合算；当x18时，两家健身中心一样合算；当180且a1)的图象有以下说法：第4个月时，残留量就会低于；每月减少的有害物质质量都相等；当残留量为，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1t2t3.其中所有正确说法的序号是_【解析】由于函数的图象经过点，故函数的解析式为y.当t4时，y0时，能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变
12、化关系答案：6已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya0.5xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件则ab_，此厂3月份该产品的产量为_万件【解析】因为ya0.5xb，且当x1时，y1，当x2时，y1.5，则有解得所以ab0，所以y20.5x2.当x3时，y20.12521.75(万件).答案：01.757函数yx2与函数yx ln x在区间(0，)上增长较快的一个是_【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2要比x ln x增长的要快答案：yx2三、解答题8若不等式3x2logax在x内恒成立，求实数a的取值范围【解题指南】原不等式等价于3x2lo
13、gax，将不等式两边分别看成两个函数，作出它们的图象，研究a的取值范围【解析】由题意，知3x21，则函数ylogax的图象显然在函数y3x2图象的下方，所以a1不成立；当0a1时，ylogax的图象必过点A或在这个点的上方，则loga，所以a，所以a1.综上，a的取值范围是.9某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近 8 年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)的数据：i12345678x3840444648505256y4555616365666768(1)请补齐表格中 8 组数据的散点图，并判断yabx与ycd中哪一个更适合
14、作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)(2)若(1)中的a7，b1.2，c4.2，d0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z200yx(32x64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费 x 应为何值？【解析】(1)补齐的图如图：由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取ycd更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式(2)依题意得，z200(4.20.07)x(32x64)，化简得z84014x(32x64)，设t(4t8)，则有zt214t840，z(t7)2889.故当t7即投入的年宣传费x49千元时，年利润取到最大值关闭Word文档返回原板块