1、2.4一些常见曲线的参数方程课时过关能力提升1已知一个圆的参数方程为x=3cos,y=3sin(02),则圆的摆线方程中参数t=2对应的点A与点B32,2之间的距离为()A.2-1B.2C.10D.32-1解析:根据圆的参数方程,可知圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为x=3(t-sint),y=3(1-cost),把t=2代入参数方程中可得x=32-1,y=3,即A32-3,3,故|AB|=32-3-322+(3-2)2=10.答案:C2如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线AE
2、FGH的长是()A.3B.4C.5D.6解析:根据渐开线的定义,可知AE是半径为1的圆的周长的14,长度为2,继续旋转可得EF是半径为2的圆的周长的14,长度为;FG是半径为3的圆的周长的14,长度为32;GH是半径为4的圆的周长的14,长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.答案:C3我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为.答案:x=a(1-cost)y=a(t-sint)4已知一个圆的摆线方程是x=4t-4sint,y=4-4cost,则该圆的面积为,渐开线方程为.答案:16x=4cost+
3、4tsinty=4sint-4tcost5给出直径为6的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解:以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.因为圆的直径为6,所以半径为3,所以圆的渐开线的参数方程是x=3cost+3tsint,y=3sint-3tcost.以圆周上的某一定点为原点,以过该定点的切线为x轴,建立平面直角坐标系,则摆线的参数方程为x=3t-3sint,y=3-3cost.6有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm,求齿廓线所在的渐开线的参数方程.分析直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可.解:因为基圆的直径为22 mm,所以基
4、圆的半径为11 mm,因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为x=11(cost+tsint),y=11(sint-tcost).7已知圆C的参数方程是x=1+6cos,y=-2+6sin(02),直线l的普通方程是x-y-62=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后圆的渐开线方程.解:(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-62=0的距离为d=622=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由圆的半径是6,可得渐开线方程是x=6cost+6tsint,y=6sint-6tcost.8已知一个参数方程是x=2+acos,y=2+as
5、in,如果把a当成参数,它表示的图形是直线l(设斜率存在),如果把当成参数,它表示半径为a(a0)的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程;(2)如果把圆心平移到(0,a),求出圆对应的摆线的参数方程.解:(1)如果把a看成参数,可得直线的普通方程为:y-2=tan (x-2),即y=xtan -2tan +2,如果把看成参数,当a0时,它表示半径为a的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=a2.(2)因为圆的圆心在(0,a),圆的半径为a,所以对应的摆线的参数方程为x=a(t-sint),y=a(1-cost).9如图,若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上),当车轮滚动时,点Q的轨迹称为变幅摆线,取|AQ|=r2或|AQ|=3r2,请推出Q的轨迹的参数方程.解:设Q(x,y),P(x0,y0),若A(r,r),则x0=r(-sin),y0=r(1-cos).当|AQ|=r2时,有x0=2x-r,y0=2y-r,代入x0=r(-sin),y0=r(1-cos),得点Q的轨迹的参数方程为x=r-12sin,y=r1-12cos.当|AQ|=3r2时,有x0=r+2x3,y0=r+2y3,代入x0=r(-sin),y0=r(1-cos),得点Q的轨迹方程为x=r-32sin,y=r1-32cos.3
