2020年上海交通大学强基计划数学试题 PDF版含解析（可编辑）.pdf

1、2020 年上海交通大学强基计划试题1.函数()f x 的定义域为(0,1)，若1(0,)2c，则函数()()()g xf xcf xc的定义域为。2.已知方程2sin1xx，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有无穷多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于 1，其中判断错误的有。3.小于 1000 的正整数中，既不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有个。4.已知边长为 a 的正三角形 ABC，D，E 分别在边,AB BC 上，满足3aADBE，连接,AE CD，则 AE 和CD 的夹角为。5.ABC的顶点坐标分别为(3,4),(6,0),(5,2)ABC，则角 A 的

2、平分线所在的直线方程为。6.从 2 个红球，3 个黑球，5 个白球中任意取 6 个，有种不同的取法。7.已知2yaxbxc过(3,4),(5,4)AB，则 2ab。8.过抛物线22(0)ypx p的焦点 F 作直线 m 交抛物线于 A、B 两点，若 A、B 横坐标之和为 5，则直线 m 的条数为。9.用同样大小的正n 边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n 的值为。10.若三条直线220,2,0 xyxxky将平面划分成 6 个部分，则 k 可能的取值情况是（）。A.只有唯一值B.有两个不同值C.有三个不同值D.无穷多个值11.非零实数,a b c，若,bc ac ababc成等差

3、数列，则下列不等式一定成立的是（）。A.bacB.2acbC.2bacD.222abc12.若集合 M 中任意两个元素的和差积商的运算结果都在 M 中，则称 M 是封闭集合，下列集合：（1）R；（2）Q；（3）RC Q；（4）|2,x xmn m nZ中，封闭集合的个数为。13.方程2(1)1x xy 的正整数解有。14.若,0a b，且满足 111abab，则 ab。15.若四面体的各个顶点到平面 距离都相同，则称平面 为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为。16.设()m a 是函数2()f xxa在区间1,1上的最大值，则()m a 的最小值为。17.立方体 8 个顶点任意两个

4、顶点所在的直线中，异面直线共有对。18.空间三条直线,a b c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有条。19.用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长的最小值为。20.矩形 ABCD 的边2AB，过 B、D 作直线 AC 的垂线，垂足分别为 E、F，且 E、F 分别为 AC的三等分点，沿着 AC 将矩形翻折，使得二面角 BACD成直角，则 BD 长度为。21.平面上给定 5 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过5 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 5 点）个数至多有个。22.实数,a b 满足5960

5、()1,()1abab ，则601nnnab。23.甲、乙、丙三人的职业分别是,A B C，乙的年龄比C 大，丙的年龄和 B 不同，B 比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）。A.ABCB.CABC.CBAD.BCA24.函数4sin cos33,(,)sincos44xxyxxx 的最小值是。2020 年上海交通大学强基计划试题解析1.【答案】1cxc【解析】由题意知 011011xccxcxccxc ，因为10,2c，所以1cxc。2.【答案】（1）【解析】2sin1xx 转化为函数()2xf x 与()sin1g xx 的交点问题，所以错误的是（1）。3.【答案】686【解析】由题意可知

6、1000994980999168657354.【答案】60【解析】方法一：ABECADBAEACD 因为6060BAECAEACDCAE 即60COE方法二：如图作,DFAECDF即为所求角2217293 23aaCDAEaaa22 7227,399993DFBFaaaDFa BFCFaaAE 22222228749181981cos2232 77293aaaDFCDCFCDFCDFDF CDaa 5.【答案】717yx【解析】由题意可知90BAC，角平分线所在直线倾斜角为4044tan3633ABkABO 413tantan(45)7413ABO 角 A 的平分线所在的直线方程为7(3)47

7、17yxx6.【答案】11【解析】设取出的球中有,x y z 个红球，黑球，白球，且0,1,2,0,1,2,3xy，0,1,2,3,4,5z，6xyz（1）当0 x 时，6yz，则有(1,5),(2,4),(3,3)，3 种；（2）当1x 时，5yz，则有(0,5),(1,4),(2,3),(3,2)，4 种；（3）当2x 时，4yz，则有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1)，4 种；共34411种。7.【答案】0【解析】(3)4,(5)4ff，A、B 关于对称轴对称所以352022baba。8.【答案】见解析【解析】设直线2pxty，联立得2222202ypxyptyppxtp 2

8、12125()52pxxt yyptp（1）当5p 时，直线条数为 0 条；（2）当5p 时，直线条数为 1 条；（3）当05p时，直线条数为 2 条。9.【答案】3,4,6【解析】设需要 x 个正 n 边形，铺满内角和等于360则(2)180436023,4,62nxxNnnn10.【答案】2,1,0【解析】三条直线将平面分成 6 个部分，有两种情况：（1）两条平行与第三条相交；（2）三条直线相交于一点，则2,1,0k 11.【答案】C【解析】由题意可知222222222(+)2acbcaba cb acb acbacbac，所以 A 可能成立，由基本不等式可得2242acacbacb，所以

9、 B 一定成立由2222222222222111112a ca bb cbacabc或222111cba即222abc或222cba，所以 D 可能成立故选C12.【答案】2【解析】显然，（1）、（2）满足题意对于（3）3RC Q，2 3RC Q，但 2 3=23RC Q，故（3）不是封闭集合对于（4）32122252|2,1471442x xmn m nZ，故（4）不是封闭集合综上，封闭集合个数为 2。13.【答案】0【解析】由题意可知222(1)11x xyyxxyx 由22(1)1(1)(1)(1)1x xyyyyx xyx 所以1xyx，y 无正整数，所以方程2(1)1x xy 的正整

10、数解有 0 个。14.【答案】152【解析】由22211110aaababababbb 因为,0a b，所以152ab15.【答案】7【解析】与四个表面分别平行的面有 4 个，与两条对棱分别平行的平面有 3 个，共 7 个。16.【答案】12【解析】（1）当0a 时，()11m aa（2）当1a 时，()1m aa（3）当01a时，1()max1,)2m aa a综上()m a 的最小值为 1217.【答案】174【解析】找异面直线需要构造三棱锥，每个三棱锥有 3 组异面直线所以44484466706658CCC，58317418.【答案】无数条【解析】如图所示，直线,a b c 两两异面，在

11、c 上任取一点 A，过 A 作ABa，构造平面 ABCD，则直线b 与平面相 ABCD 交于点 E，连接 AE交a 于 F，即直线 AF 与三条异面直线,a b c都相交，由于 A 任意性，所以有无数条。19.【答案】3 2【解析】如图所示，六边形周边最小值为263 2220.【答案】153【解析】设 AFEFECx则223cos332xBAExx所以221523BDBEx21.【答案】310【解析】（1）设 5 个点为,a b c d e，其中,b c d e 四个点共有246C 条连线，a 点可向这 6 条线作 6 条垂线，一共5630条，此时垂线的交点个数至多为230435C个。（2）点

12、a 可以向,b c d e 这四个点的 6 条连线作垂线，有2615C 个点，所以共5 1575个（3）点,c d e 向点,a b 作垂线，可作 3 条，这三条互相平行，没有交点，此时有233C，共225330C C 个；（4）五个点中任意三个构成一个三角形，三角形三条高相交于一点（三条垂线只有一个交点），此时有22353520C CC个综上这些垂线的交点个数至多有 435753020310个。22.【答案】0【解析】由题意得：11abab 或11abab 01ab 或10ab 所以1,(1,3,559)1,(2,4,660)nnnabn 则6010nnnab23.【答案】A【解析】由题意得乙的职业是 B，乙比 C 大，丙的年龄和 B 不同，B 比甲小，甲、乙、丙三人的职业分别是 A，B，C24.【答案】2 2【解析】令3sincos,2 sin(0,1444txx xtx 且224sin cos32(1)321xxtt221122 2tyttt当且仅当1222ttt 时取等号，所以函数的最小值为2 2