1、2.2.2 对数函数及其性质第 1 课时 对数函数的图象和性质课时过关能力提升基础巩固1.下列函数是对数函数的是()A.y=loga2xB.y=lg 10 xC.y=loga(x2+x)D.y=lg x答案:D2.函数 y=logx(3-2x)的定义域是()A(-)()C.(0,1)()解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 -解得0 x1 或 10 时,log2a 则a 当 a0 时,2a 即2a=2-1,则 a=-1.综上,a=-1或 答案:C4.当 a1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只能是()解析:a1,y=(1-a)x 在 R 上递减,y=logax
2、在(0,+)上递增.故选 B.答案:B5.若对 a(a0,且 a1)取不同的值,函数 y=log -的图象恒过定点 则点 的坐标为 A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)解析:令 -解得x=-2.故函数图象恒过定点 P 的坐标为(-2,0).答案:B6.函数 f(x)-的定义域为 解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 -解得3x0,且 a1),所以-2=loga3,所以 a-2=3,所以 a -则f(x)=l 故f ()-答案:-18.已知函数 f(x)=-5loga(x-1)+2(a0,且 a1)的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是 .解析:令 x-1=1,
3、得 x=2.f(2)=2,f(x)的图象恒过定点(2,2).答案:(2,2)9.若函数 f(x)=ax(a0,且 a1)的反函数的图象过点(3,1),则 a=.解析:设 f(x)的反函数为 g(x),则 g(x)=logax(a0,且 a1).g(x)的图象过点(3,1),loga3=1,a=3.答案:310.已知对数函数 f(x)=(m2-m-1)log(m+1)x,求 f(27)的值.解:f(x)是对数函数,-解得m=2.f(x)=log3x,f(27)=log327=3.能力提升1.若 f(x)则 的定义域为 A(-)()C(-)(0,+)D(-)解析:由题意,知 即 解得x 且x0.答
4、案:C2.函数 y=ax与 y=-logax(a0,且 a1)在同一平面直角坐标系中的图象的形状可能是()解析:函数 y=-logax 恒过定点(1,0),故排除 B 项;当 a1 时,y=ax在 R 上是增函数,y=-logax 在(0,+)上是减函数;当 0a0,且 a1),若 f(x1x2x2 019)=8,则f 的值等于 解析:f +f +log x2 019)2=2loga(x1x2x3x2 019)=2f(x1x2x3x2 019),原式=28=16.答案:166.若函数 f(x)=l 的定义域是()则 解析:令 3x-a0,得 x 由已知得 a=2.f(x)=l f(2)=l 答
5、案:-27.求函数 y=-lg2x+6lg x 的定义域和值域.分析:定义域可由函数的解析式直接得出,求值域可利用换元法,将其转化为求二次函数的值域.解:要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 x0,函数的定义域是(0,+).设 lg x=t,由于 x(0,+),则 tR,故 y=-t2+6t=-(t-3)2+9.tR,y9.函数的值域是(-,9.8.已知函数 f(x)=log2(1+x2).求证:(1)函数 f(x)是偶函数;(2)函数 f(x)在区间(0,+)内是增函数.分析:(1)先求函数 f(x)的定义域,再证明 f(-x)=f(x);(2)依据证明函数单调性的步骤来证明即可.证明(1)函数 f(x)的定义域是 R,f(-x)=log21+(-x)2=log2(1+x2)=f(x),所以函数 f(x)是偶函数.(2)设 x1,x2为区间(0,+)内的任意两个实数,且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=log2(1 由于0 x1x2,则 0 所以0 又函数y=log2x 在区间(0,+)内是增函数,所以 log 所以f(x1)f(x2).所以函数 f(x)在区间(0,+)内是增函数.