1、2022年天津市滨海新区七所重点学校高考数学联考试卷（2月份）1. 设全集，集合，则A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的大致图象为A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是A. 线性回归直线方程一定过点B. 数据，的平均数为，则，的平均数为C. 数据5，1，2，3，4，6的第40百分位数为2D. 随机变量，其正态曲线是单峰的，它关于直线对称5. 设函数在R上是偶函数，且在上单调递增，则A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截
2、面，且圆锥的顶点也在该球的球面上若球的体积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为A. B. C. D. 7. 设抛物线：与双曲线：的两条渐近线分别交于A，B两点，抛物线的准线l与坐标轴交于点M，若为直角三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则下列叙述不正确的是A. 筒车转动的角速
3、度B. 当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为C. 当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6D. 筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为69. 已知函数若函数恰有4个零点，分别为，且，则的取值范围是A. B. C. D. 10. 若复数z满足是虚数单位，则z的虚部为_.11. 在的展开式中，的系数是_用数字作答12. 经过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点，若，则k的值为_.13. 为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某中学开展党史知识竞赛活动为了解学生学习的效果，现从高一和高二两个年级中各随
4、机抽取20名学生的成绩，根据学生的竞赛成绩分为四个等级，两个年级各个等级的人数如下表等级合格中等良好优秀高一4745高二3566若从样本中任取3名同学的竞赛成绩，在成绩为“优秀”的条件下这3名同学来自同一个年级的概率为_；若从样本中成绩为“良好”的学生中随机抽取3人座谈，用X表示抽到高一年级的人数，则随机变量X的数学期望为_.14. 已知，则的最小值为_.15. 在四边形ABCD中，点E是线段AD上一点，且，则_，若点P为线段AB上的动点，则的取值范围为_.16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，求和c的值；求的值17. 如图，在五棱锥中，平面平面ABCDE，是等边三角形，点O，
5、G分别为AE和PC的中点，求证：平面POD；求平面POD与平面PBC的夹角的余弦值；设M是线段OP上的动点，若直线MB与平面PBC所成角的正弦值为，求线段OM的长18. 已知椭圆C：的焦距为，且经过点，过点A的直线l与椭圆交于点求椭圆C的标准方程；设M为线段AB的中点，O为原点，OM所在的直线与椭圆C交于P，Q两点点Q在x轴上方，问是否存在直线l使得的面积是面积的6倍？若存在，求直线l的方程，并求此时四边形APBQ的面积，若不存在，请说明理由19. 已知在各项均不相等的等差数列中，且，成等比数列，数列中，求的通项公式及其前n项和；求证：是等比数列，并求的通项公式；设求数列的前2n项的和20.
6、已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；当时，若函数，求的单调区间；当时，若函数恰有两个不同的极值点，且，求证：答案和解析1.【答案】D【解析】解：，故选：进行补集和交集的运算即可本题考查了集合的列举法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】B【解析】解：由，解得或，由，得，解得，由或不能够推出，由，能够推出或，“”是“”的必要不充分条件，故选：化简不等式，利用充要条件的定义即可判断本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】A【解析】解：因为，所以函数的定义域为，所以为偶函数，排除选项B和C，由于，所以选项D错误故选
7、：根据函数的奇偶性可判断为偶函数，排除B和C，对比选项A和D，只需比较与0的大小关系，即可得解本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性，单调性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题4.【答案】C【解析】解：线性回归直线一定过其中心点正确；由得，故B正确；数据5，1，2，3，4，6应重新排列为1，2，3，4，5，6，其第40百分位数为3，C错误；由正态曲线的性质知D正确故选：根据线性回归直线的性质，平均值的定义，百分位数的概念，正态曲线的性质判断各选项本题考查了回归直线方程的性质，样本的数字特征，正态曲线的性质，属于基础题5.【答案】A【解析】解：在R上是偶
8、函数，且在上单调递增，在上单调递减，则，则，即，故选：根据函数奇偶性和对称性之间的关系进行转化求解即可本题主要考查函数值的大小比较，利用函数奇偶性和对称性的关系进行转化是解决本题的关键，是基础题6.【答案】D【解析】解：设球的半径为R，由，得圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，球心在圆柱高的中点上，可得圆锥的高，设圆柱的底面半径为r，则，故选：由已知求出外接球的半径，利用勾股定理求得圆锥底面半径及高，再由圆锥体积公式求解本题考查旋转体的外接球，考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题7.【答案】C【解析】解：由题意知，双曲线的渐近线方程为，联立，得，解得或
9、，当时，由抛物线和双曲线的对称性知，因为为直角三角形，所以，所以，因为，所以，即，解得，即，所以离心率故选：联立抛物线与双曲线的渐近线方程，求得点A和B的坐标，再由，可得关于的方程，最后由，得解本题考查抛物线与双曲线的几何性质，平面向量垂直的坐标表示方法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题8.【答案】B【解析】解：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，因此本选项叙述正确；B.因为当时，盛水筒M位于点，所以，所以有，因为，所以，即，所以因此本选项叙述不正确；C.由B可知：盛水筒M的纵坐标为，设它的横坐标为x，所以有，因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒M在第三象限，故，盛水筒M
10、和初始点的水平距离为，因此本选项叙述正确；D.因为所以筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6，因此本选项叙述正确故选：根据题意，结合正弦型函数的性质逐一判断即可本题考查了三角函数的性质，求出解析式是解答本题的关键，属于基础题9.【答案】D【解析】解：函数作出的图象如图所示，因为，当时，与的交点横坐标为，所以，即，所以；且，当时，与交点的横坐标为，又的对称轴方程为，所以，关于直线对称，故，则，根据对勾函数的单调性可得，所以，的取值范围为故选：作出函数的图象，利用数形结合法即可求解结论本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：方程法直
11、接解方程得到函数的零点；图象法直接画出函数的图象分析得解；方程+图象法令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解属于中档题10.【答案】【解析】解：，故z的虚部为故答案为：根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题11.【答案】【解析】解：由题知，1，2，6，当时，可得的系数为故答案为：写出展开式的通项，令x的指数为3，求出k的值即可解决问题本题考查二项式通项的应用，属于基础题12.【答案】或0【解析】解：设直线AB的方程为，圆C：的圆心为，半径为，由勾股定理得圆心到直线
12、AB的距离为，即圆心为到直线AB：的距离为，解得或故答案为：或利用勾股定理求出圆心到直线AB的距离，设出直线AB的方程利用点到直线的距离公式求出k值本题主要考查圆的弦长公式，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题13.【答案】【解析】解：在成绩为“优秀”的条件下这3名同学来自同一年级的概率为，由题意可得，X服从超几何分布，故故答案为：；根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及超几何分布的期望公式，即可求解本题主要考查古典概型的概率公式，以及超几何分布的期望公式，属于基础题14.【答案】【解析】解：因为，则当且仅当且，即，时取等号故答案为：由已知得然后结合基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本
13、不等式求最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，属于基础题15.【答案】 【解析】解：如图所示，四边形ABCD中，选择、为基底，则，所以，解得，若点P为线段AB上的动点，则设，则，所以，对称轴为，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为1，所以的取值范围是故答案为：；选择、为基底，由向量的线性运算及数量积运算可求得的值；设，由向量的线性运算将与用基底表示，再利用向量的数量积及二次函数的性质求解即可本题主要考查向量的线性运算及数量积运算，考查转化思想与函数思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题16.【答案】解：因为，所以由余弦定理得，因为B是三角形内角，由正弦定理得，所以，由得
14、，解得或舍去，【解析】由余弦定理求得，从而得出，由正弦定理求得b，代入已知等式可求得c；由二倍角公式，两角和的余弦公式计算本题考查了利用正余弦定理解三角形以及三角函数的求值问题，属于中档题17.【答案】证明：因为是等边三角形，O为AE的中点，则，因为平面平面ABCDE，平面平面，平面PAE，所以，平面ABCDE，则，以点O为坐标原点，OA、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面POD的法向量为，由，取，可得，则，则，平面POD，故平面解：设平面PBC的法向量为，由，取，可得，因此，平面POD与平面PBC的夹角的余弦值为解：设点，其中，则，由已知可得，整
15、理可得，因为，解得，因此，【解析】推导出平面ABCDE，然后点O为坐标原点，OA、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；利用空间向量法可求得平面POD与平面PBC的夹角的余弦值；设点，其中，根据已知条件结合空间向量法可得出关于t的方程，解出t的值，即可得解本题主要考查线面平行的证明，面面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题18.【答案】解：因为知椭圆C：的焦距为，所以，又因为该椭圆过，所以，因此，因此该椭圆的方程为：；显然直线l存在斜率，设为，该直线方程设为，与椭圆方程联立，或，所以点B的横坐标为：，则有成立，因此点B的纵坐标为：，即，因
16、为M为线段AB的中点，所以点M的横坐标为：，点M的纵坐标为：，即，所以直线OM的斜率为：，所以直线OM的方程为：，把它代入椭圆方程中，得：，因为点Q在x轴上方，所以点Q的纵坐标为：，它的横坐标为：，即，点Q到直线l的距离为：，点O到直线l的距离为：，假设存在直线l使得的面积是面积的6倍，则有，因为M为线段AB的中点，所以有，于是有，显然满足，直线l的方程为，或，当直线l的方程为，此时和，四边形APBQ的面积为：，当直线l的方程为，此时和，四边形APBQ的面积为：，所以存在使得的面积是面积的6倍的直线，方程为：，或，四边形APBQ的面积为【解析】根据椭圆焦距定义，结合代入法进行求解即可；设出直线
17、l的方程，与椭圆方程联立，通过解方程组求出B点坐标，通过中点坐标公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解判断即可本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的探索性问题，圆锥曲线中的面积问题等知识，属于中等题19.【答案】解：设各项均不相等的等差数列的公差为，且，成等比数列，即，解得，证明：数列中，数列是等比数列，首项为4，公比为4，时，数列的前k项的和，化为：时，数列的前k项的和，数列的前2n项的和【解析】设各项均不相等的等差数列的公差为，根据，且，成等比数列，可得，可得d，利用求和公式可得数列中，变形为，即可证明数列是等比数列，利用通项公式可得时，利用错位相减法即可得出数列的前k项的和
18、，时，利用裂项求和方法可得数列的前k项的和，进而得出数列的前2n项的和本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、裂项求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20.【答案】解：当时，则，故曲线在点处的切线方程为，即当时，该函数的定义域为当时，由可得或当时，由，可得，由，可得或，此时函数的增区间为、，减区间为；当时，对任意的，且不恒为零，此时函数在R上单调递增；当时，由，可得，由，可得或，此时函数的增区间为、，减区间为综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数在R上单调递增；当时，函数的增区间为、，减区间为证明：，则，令，则当时，由可得当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，所以，解得下面证明不等式，其中，即证，令，即证对任意的恒成立，构造函数，其中，则对任意的恒成立，故函数在上单调递增，当时，所以，当时，由已知可得，两式作差可得，则，即，故原不等式得证【解析】求出、的值，利用导数的几何意义可求得切线的方程；求得，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可出函数的增区间和减区间；分析可知，证明出，其中，由已知条件可得，两式作差可得，结合所证不等式可证得结论成立本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程和不等式的证明，考查了分类讨论思想和转化思想，属于难题