1、光明区2022届高三年级第一次调研测试数学试卷一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知圆柱底面半径为2，侧面展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 4. 下列区间是函数单调递减区间的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，则的周长是（ ）A. 2B. C. 4D. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与
2、事件B的关系是（ ）A. 相互独立B. 互斥C. 既相互独立又互斥D. 既不相互独立又不互斥7. 已知函数，若曲线在处切线与直线垂直，则（ ）A. B. C. D. 8. 若，则（ ）A. B. C. D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若甲组样本数据，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ）A. a的值为-2B. 乙组样本数据的方差为36C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同10. 已知，是
3、两个相互垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 当时，夹角的余弦值为C. 存在使得与同时成立D. 不论为何值，总有成立11. 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ）A. B. 所在直线的方程为C. 四边形的外接圆方程为D. 的面积为12. 在棱长均为1的正三棱柱中，点E在棱上运动，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小值为B. 存在点E使得直线与直线所成的角为45C. 三棱锥的体积为定值D. 当点E为棱中点时，四棱锥的外接球的表面积为三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数是偶函数，则_.14. 直线与抛物线交于A，B两点，已知
4、的中点坐标为，则_.15. 函数的最大值为_.16. 北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书营造法式，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是，接近.如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列.已知等比数列的前n项和为，满足.若，且，则的最小整数为_.（参考数据：，）四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知数列满足.（1）记的前n项和为，求；（2）记，求的前项和.18. 为了不断提
5、高群众主动参与健身的意识，激发大家的健身热情，在社区形成崇尚健身、参与健身、推动全民健身事业发展的良好氛围，某社区举行“全民健身日”活动.在活动中，甲、乙两人进行了一场五局三胜制的乒乓球比赛，其中甲在每局中胜出的概率为，乙在每局中胜出的概率为，每赢一局得1分，每输一局不得分，没有平局.每局比赛相互独立.（1）求甲在比赛中获胜的概率；（2）求比赛结束时甲得分的分布列及数学期望.19. 如图，在四棱锥中，.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在
6、其外部，求外接圆的面积.21. 已知双曲线C：（）的左右焦点分别为，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.（1）求C的方程；（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.22. 已知函数，.（1）当时，求函数单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.光明区2022届高三年级第一次调研测试数学试卷 答案版一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 答案：B2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 答案：C3. 已知圆柱底面半径为2，侧面
7、展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 答案：A4. 下列区间是函数单调递减区间的是（ ）A. B. C. D. 答案：D5. 已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，则的周长是（ ）A. 2B. C. 4D. 答案：D6. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（ ）A. 相互独立B. 互斥C. 既相互独立又互斥D. 既不相互独立又不互斥答案：A7. 已知函数，若曲线在处切线与直线垂直，则（ ）A. B. C. D. 答案：A8. 若，则（ ）A. B. C. D. 答案：C二多选题：
8、本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若甲组样本数据，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ）A. a的值为-2B. 乙组样本数据的方差为36C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同答案：ABD10. 已知，是两个相互垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 当时，夹角的余弦值为C. 存在使得与同时成立D. 不论为何值，总有成立答案：ACD11. 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说
9、法正确的是（ ）A. B. 所在直线的方程为C. 四边形的外接圆方程为D. 的面积为答案：BCD12. 在棱长均为1的正三棱柱中，点E在棱上运动，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小值为B. 存在点E使得直线与直线所成的角为45C. 三棱锥的体积为定值D. 当点E为棱中点时，四棱锥的外接球的表面积为答案：AC三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数是偶函数，则_.答案：14. 直线与抛物线交于A，B两点，已知的中点坐标为，则_.答案：15. 函数的最大值为_.答案：16. 北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书营造法式，其中说到“方一百，其斜一百四十有
10、一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是，接近.如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列.已知等比数列的前n项和为，满足.若，且，则的最小整数为_.（参考数据：，）答案：四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知数列满足.（1）记的前n项和为，求；（2）记，求的前项和.答案：（1）；（2）.18. 为了不断提高群众主动参与健身的意识，激发大家的健身热情，在社区形成崇尚健身、参与健身、推动全民健身事业发展的良好氛围，某社区举行“全民健
11、身日”活动.在活动中，甲、乙两人进行了一场五局三胜制的乒乓球比赛，其中甲在每局中胜出的概率为，乙在每局中胜出的概率为，每赢一局得1分，每输一局不得分，没有平局.每局比赛相互独立.（1）求甲在比赛中获胜的概率；（2）求比赛结束时甲得分的分布列及数学期望.答案：（1）;（2）分布列见解析，数学期望为.19. 如图，在四棱锥中，.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）点G为的中点时，二面角的大小为30，证明见解析.20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，求外接圆的面积.答案：（1）或；（2）.21. 已知双曲线C：（）的左右焦点分别为，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.（1）求C的方程；（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.答案：（1）；（2）.22. 已知函数，.（1）当时，求函数单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.答案：（1）减区间为，增区间为；（2）具体见解析.
