1、2020 学年高一数学下册期末两条直线的位置关系知识点1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1k21当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l22两直线平行或重合的充要条件直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行的充要条件是 A1B2A2B10，A1C2A2C1.重合的充要条件是 A1B2A2B10，A1C2A2C3两
2、直线垂直的充要条件直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20例 1(P101A 组 T10 改编)已知 P(2，m)，Q(m,4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m_【答案】1由题意知 m42m1，所以 m42m，所以 m1.练习(2019山东滨州调研)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则m 等于()A2B3C2 或3D2 或3【答案】C直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有 2mm13 42，故 m2 或3.4两条直线的交点的求法直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC2
3、0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，则l1与 l2的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解例 2(2019山东济宁月考)若三条直线 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_【答案】9由y2xxy3得x1y2，即交点坐标为(1,2)又三线共点，m2250，m9.练习当 0k12时，直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B由kxyk1，kyx2k得x kk1，y2k1k1.又0k12，x kk10，故直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在第二象限5三种
4、距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d x2x12y2y12点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0的距离d|Ax0By0C|A2B2平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2例 3(2019山东蒙阴月考)已知两条平行直线，l1：mx8yn0 与 l2：2xmy10 间的距离为 5，则直线 l1的方程为_【答案】2x4y90 或 2x4y110l1l2，m2 8m n1，m4，n2或m4，n2.(1)当 m4 时，直线 l1的方程为 4x8yn0，把 l2的方程写成 4x8y20，|n2|1664 5，解得 n22 或 18
5、故所求直线的方程为 2x4y110 或 2x4y90(2)当 m4 时，直线 l1的方程为 4x8yn0，l2的方程为 4x8y20，|n2|1664 5，解得 n18 或 22故所求直线的方程为 2x4y90 或 2x4y110.变式探究将题 2 改为“已知直线 l 过点 P(3，4)且与点 A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为_.”【答案】2xy20 或 2x3y180显然直线 l 斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0，由已知，得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或 k23所求直线 l 的方程为 2xy20 或
6、2x3y180.练习.(P110 B 组 T2 改编)已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于()A 2B2 2C 21D 21【答案】C由题意得|a23|111.解得 a12或 a12.a0，a1 2.6直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR)(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2例 4求经过两条直线 l1：xy40 和 l2：xy2
7、0 的交点，且与直线 2xy10垂直的直线方程为_.【答案】x2y70由xy40，xy20，得x1，y3，l1与 l2的交点坐标为(1,3)设与直线 2xy10 垂直的直线方程为 x2yc0，则 123c0，c7所求直线方程为 x2y70.7.对称问题在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解例 5.(2019福建厦门月考)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_【答案】x4y4
8、0设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.练习.(2019山东德州月考)直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10Dx2y10A设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于 xy20 的对称点为 P(x0，y0)，由xx02yy0220，xx0yy0，得x0y2，y0 x2，由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)(x2)30，即 x2y30.练习.(2019湖北孝感五校联考)已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为()A(2,4)B(2，4)C(2,4)D(2，4)C设 A(4,2)关于直线 y2x 的对称点为(x，y)，则y2x421，y2224x2，解得x4，y2，BC所在直线方程为y12143(x3)，即3xy100.联立3xy100，y2x，解得x2，y4，则 C(2,4)
