1、课时跟踪检测（七） 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理一、基本能力达标1给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可以作为空间的一个基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；已知a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析：选D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底显然正确中由，不能构成空间的一个基底，知，共面又，过相同点B，知A，B，M，N四
2、点共面下面证明正确：假设d与a，b共面，则存在实数，使得dab，d与c共线，c0，存在实数k，使得dkc.d0，k0，从而cab，c与a，b共面，与条件矛盾，d与a，b不共面同理可证也是正确的于是四个命题都正确，故选D.2如图，已知正方体ABCDABCD中，E是平面ABCD的中心，a，b，c，x ay bz c，则()Ax2，y1，z Bx2，y，zCx，y，z1 Dx，y，z解析：选A()2abc.3空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且2，N为BC中点，则为()A.abc BabcC.abc D.abc解析：选B()abc.4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是面BB1C
3、1C的中心，且a，b，c，则()A.abc B.abcC.abc Dabc解析：选D()c()ca(c)babc.5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，CC11，则在上的投影是_解析：在上的投影为|cos，在ABC1中，cosBAC1，又|.|cos 2.答案：26在三棱锥OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：如图， ()()abc.答案：abc7已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出， ， ， 的坐标表示解：正方体ABCD
4、A1B1C1D1的棱长为1，A(1,0,0), B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)，(0,1,1)，(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)8.如图所示，正方体OABCOABC，且a，b， c.(1)用a，b，c表示向量，；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解：(1)abc.bca.(2)法一：连接OG，OH(图略)，则()()(abcb)(abcc)(cb)法二：连接OC，则()(cb)二、综合能力提升1设i，
5、j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)解析：选A依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12,14,10)2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为()A B.C D.解析：选B正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，|，|，|.AB1C是等边三角形在上的投影为|cos，cos 60.3已知向量和在基底a，b，c下
6、的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若，则向量在基底a，b，c下的坐标是()A. B.C. D.解析：选A(2bc)(3a4b5c)3a2b4c，abc，向量在基底a，b，c下的坐标是，故选A.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，即0，.答案：5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，PA底面ABCD，PDA30.试建立适当的坐标系并求出图中各点的坐标解：以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系ABBCa，A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)AD2a，D(0,2a,0)PA底面ABCD，PAAD.又PDA30，PAADtan 30a，故P.6如图，在正方体ABCDABCD中，点E是上底面ABCD的中心，求下列各式中x，y，z的值(1)xyz；(2)xyz.解：(1)，又xyz，x1，y1，z1.(2)()，又xyz，x，y，z1.