1、南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12） 数学试卷学校 班级 考号 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu 时间 120 分钟 满分 160 分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1函数的最小正周期为 2.设集合，则集合A中有 个元素.3函数的单调减区间是 4.若是虚数单位)，则乘积的值是 5.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 6给出一个算法： Read x
2、 If 根据以上算法，可求得 7.椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为 8.向量，的夹角为， 则 9.在RtABC中，C=90，A=30，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率 10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程： （ ）. OP1P0P211如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（
3、）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于 12设实数满足 则的取值范围是 13.满足条件的三角形的面积的最大值是_ _.14 对于总有0 成立，则= 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC中，A,B,C分别为a,b,c边所对的角，且求的值；若a =2，求ABC的面积S的最大值16已知点P(3, 4)是椭圆1 (ab0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1PF2，求： 椭圆的方程； (2) PF1F2的面积17.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB（如图1）。现将A
4、DE沿DE折起，使得AEEB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。（1）求证：BC平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由。18.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两个底边），已知其中是以为顶点、为对称轴的抛物线段试求该高科技工业园区的最大面积ABCDEFPQR 19. 已知过点,且与:关于直线对称.()求的方程；()设为上的一个动点,求的最小值；()过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.20. (本小题满分16分
5、)已知函数定义域为(),设.()试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；()求证:；()求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12） 数学试卷全卷满分160分，考试时间120分钟一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共5小题；共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 16（本小题满分14分） 17（本小题满分15分） ABCDEFPQR18（本小题满分15分
6、） 19（本小题满分16分） 20（本小题满分16分） 学校 班级 考号 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12） 数学试卷（理科附加）30分钟1已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量 2在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系3如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，PBCDA
7、M点M是棱PC的中点，AM平面PBD（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值4某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（2）求的分布列及期望南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12） 数学试卷学校 班级 考号 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuu
8、uuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu 时间 120 分钟 满分 160 分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1函数的最小正周期为 2.设集合，则集合A中有 个元素.【答案】63函数的单调减区间是 4.若是虚数单位)，则乘积的值是 【答案】-35.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是【答案】.6给出一个算法： Read x If 根据以上算法，可求得 0 7.椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为 24 解：设
9、r1，r2，则r1r214，rr4c2100，故r1r248，所以SPF1F2r1r2248.向量，的夹角为， 则 【答案】79.在RtABC中，C=90，A=30，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率 10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程： （ ）.【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性可猜想填事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相
10、减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程OP1P0P2【答案】11如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于 12设实数满足 则的取值范围是 13.满足条件的三角形的面积的最大值是_.【答案】14 对于总有0 成立，则= 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论取何值，0显然成立；当x0 即时，0可化为，2设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而2；当x0 即时，0可化为2， 在区间上单调递增，因此
11、，从而2，综上2【答案】2二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC中，A,B,C分别为a,b,c边所对的角，且求的值；若a =2，求ABC的面积S的最大值解：= +cos2A = 由,Error! No bookmark name given. .当且仅当b=c时，取得最大值，所以当b= c时，ABC的面积S的最大值为316已知点P(3, 4)是椭圆1 (ab0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1PF2，求： 椭圆的方程； (2) PF1F2的面积解：（1）法一：令F1(C，0)，F2(C，0) PF1PF2， 1 即，解得c5 椭
12、圆的方程为 点P（3，4）在椭圆上， 解得a245或a25 又ac， a25舍去 故所求椭圆的方程为.法二：利用PF1F2是直角三角形，求得c5(以下同方法一)（2）由焦半径公式：| PF1 |aex334 | PF2 |aex332 | PF1 | PF2 |422017.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB（如图1）。现将ADE沿DE折起，使得AEEB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。（1）求证：BC平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由。ABCDEFPQR18.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划
13、出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两个底边），已知其中是以为顶点、为对称轴的抛物线段试求该高科技工业园区的最大面积解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则，（2分）由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为，由得，AF所在抛物线的方程为，（5分）又，EC所在直线的方程为，（7分）设，则， （9分）工业园区的面积，（12分）令得或（舍去负值），（13分）当变化时，和的变化情况如下表：x+0-极大值由表格可知，当时，取得最大值（15分）答：该高科技工业园区的最大面积 （16分）19. 已知过点,且与:关于直线对称.()求的方程；()设为上的一个动点,求的最小
14、值；()过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.解:()设圆心,则,解得 (3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5分)()设,则,且 (7分)=,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)(10分)()由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,由,得 (11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分) 同理,所以= 所以,直线和一定平行 (16分)20. (本小题满分16分)已知函数定义域为(),设.()试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；()求证:；()求证:对于任意的,总存在,
15、满足,并确定这样的的个数.()解:因为(2分)由；由,所以在上递增,在上递减 (4分)欲在上为单调函数,则(5分)()证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分) 又,所以在上的最小值为 (9分) 从而当时,即 (10分)()证:因为,所以即为, 令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数 (12分) 因为,所以 当时,所以在上有解,且只有一解 (13分)当时,但由于,所以在上有解,且有两解 (14分)当时,所以在上有且只有一解；当时, 所以在上也有且只有一解 (15分)综上所述, 对于任意的,总存在,满足,且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意 (16分)(说明
16、:第()题也可以令,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)学校 班级 考号 姓名_ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12） 数学试卷（理科附加）30分钟1已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量 2在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系3如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边
17、长为1的正方形，PA底面ABCD，PBCDAM点M是棱PC的中点，AM平面PBD（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值4某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（2）求的分布列及期望附加题答案1解：矩阵M的特征多项式为 =1分因为方程的一根，所以3分由得，5分设对应的一个特征向量为,则得8分令,
18、所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为10分2消去参数，得直线的直角坐标方程为； 2分即，两边同乘以得，得的直角坐标方程为：, 6分圆心到直线的距离，所以直线和相交 10分3如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a).因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,)，所以 = (,)， = (1,1,0)， = ( 1,0,a). 2分因为平面PBD,所以 = = 0.即 + = 0,所以a = 1,即PA = 1. 4分由 = (0,1,0), = (,),可求得平面AMD的一个法向量n = ( 1,0,1).又 = ( 1,1,1).所以cos = = = .所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为.10分4解：（）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， 4分（）的可能取值为元，元，元，0.4的分布列为8分（元）10分