1、第4节万有引力定律及其应用必备知识预案自诊知识梳理一、开普勒行星运动定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是,太阳处在的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的跟它的公转周期的的比值都相等a3T2=k,k是一个与行星无关的常量注:行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。注:面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等。注:该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。二、万有引力定律1.公式:F=Gm1m2R2,其中G=6.6710-1
2、1 Nm2/kg2,叫引力常量。2.适用条件:只适用于间的相互作用。3.理解(1)两分布均匀的球体间的相互作用,也可用本定律来计算,其中r为两球心间的距离。(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用,其中r为质点到球心间的距离。三、宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v1= km/s,是人造卫星在地面附近绕地球做运动的速度,也是卫星最小的发射速度和最大环绕速度第二宇宙速度v2= km/s,使物体挣脱引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v3= km/s,使物体挣脱引力束缚的最小发射速度四、地球卫星1.卫星的轨道(1)赤道轨道:卫星的轨道在赤道平面内,同步卫星就是其中的一种。(2
3、)极地轨道:卫星的轨道过南北两极,即在垂直于赤道的平面内,如极地气象卫星。(3)其他轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道。2.地球同步卫星相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星。同步卫星有以下特点(1)轨道平面一定:轨道平面与共面。(2)周期一定:与地球自转周期,即T=。(3)角速度一定:与地球自转的角速度。(4)高度一定:根据GMmr2=m42T2r得,r=3GMT242=4.23104 km,卫星离地面高度h=r-R6R(为恒量35 786 km)。(5)绕行方向一定:与地球自转的方向一致。3.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过,由于地球自转,极地卫星可以实现
4、全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于,其运行线速度约为 km/s。五、绝对时空观和相对论时空观1.绝对时空观(牛顿力学时空观)时间与空间都是独立于物体及其运动而存在的。2.相对论时空观运动物体的长度(空间距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的有关。考点自诊1.判断下列说法的正误。(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。()(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越大。()(3)只有天体之间才存在万有引力。()(4)地面上的物体所受地球的引力方向一定竖直向下。()(5)两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近
5、于无穷大。()2.(新教材人教版必修第二册P71习题改编)有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点,现在从M中挖去一半径为R2的球体(如图),然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质,则填充后的实心球体对m的万有引力是多少?3.(新教材人教版必修第二册P71习题改编)某宇航员在地球表面离地面高h处以一定的初速度水平抛出一个小球,小球的水平位移为x;宇航员到达某星球后,在星球上离星球表面也为h高处以同样的初速度水平抛出同一个小球,小球的水平位移为2x,已知该星球的半径是地球半径的一半,地球表面重力加速度g取10 m/s2,地球的第一宇宙速度为7.
6、9 km/s,不计空气阻力,求:(1)该星球表面的重力加速度大小;(结果保留两位有效数字)(2)若要在该星球上发射一颗卫星,该星球的第一宇宙速度为多少。(结果保留两位有效数字)关键能力学案突破考点一万有引力定律的理解和应用(师生共研)1.地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果,其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力,另一个分力等于重力。(1)在两极,向心力等于零,重力等于万有引力;(2)除两极外,物体的重力都比万有引力小;(3)在赤道处,物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上,则有F=F向+mg,所以mg=F-F向=GMmR2-mR自2。2.地
7、球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力物体在地球表面附近(脱离地面)绕地球转时,物体所受的重力等于地球表面处的万有引力,即mg=GMmR2,R为地球半径,g为地球表面附近的重力加速度,上式变形得GM=gR2。3.距地面一定高度处的重力与万有引力物体在距地面一定高度h处绕地球转时,mg=GMm(R+h)2,R为地球半径,g为该高度处的重力加速度。4.万有引力的“两个推论”推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对其的万有引力,即F=GMmr2。【典例1】如图所
8、示,O1是一个半径为2R,质量为M的密度均匀球体的球心,现在该球体内以O2为球心挖去一个半径为R的球,并在O2处放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零,则O1球剩余部分对O2处质点的万有引力为()A.GMm8R2B.GMm4R2C.7GMm8R2D.GMmR2思维点拨运用“填补法”求解该题,解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件,先填补后运算,运用“填补法”解题主要体现了等效思想。(1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。(2)在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀,不可再随意视为质点处理。(3)可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。对点
9、演练1.(2020黑龙江大庆模拟)通常情况下中子星的自转速度是非常快的,因此任何的微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号,这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降。现有一中子星(可视为均匀球体),它的自转周期为T0时恰能维持该星体的稳定(不因自转而瓦解),则当中子星的自转周期增为2T0时,某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为()A.12B.2C.34D.432.(多选)最近几十年,人们对探测火星十分感兴趣,先后发射过许多探测器。2020年7月23日“天问一号”探测器在海南成功发射。若在探测器“奔向”火星的过程中,用h表示探测器与火星表面的距
10、离,a表示探测器所受的火星引力产生的加速度,a随h变化的图像如图所示,图像中a1、a2、h0以及引力常量G已知。下列判断正确的是()A.火星的半径为a2a2+a1h0B.火星表面的重力加速度大小为a1C.火星表面的重力加速度大小为a2D.火星的质量为a2a1a1-a22h02G考点二天体质量和密度的估算(师生共研)1.天体质量和密度常用的估算方法类型使用方法示意图已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGMmr2=mr42T2M=42r3GT2只能得到中心天体的质量r、vGMmr2=mv2rM=rv2Gv、TGMmr2=mv2rGMmr2=mr42T2M=v3T2G利用天体表面重力
11、加速度g、Rmg=GMmR2M=gR2G密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2=mr42T2M=43R3=3r3GT2R3当r=R时=3GT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg=GMmR2M=43R3=3g4GR2.计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般
12、不相等。【典例2】(多选)若已知引力常量为G,地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R,地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期),一年的时间为T2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离为L1,地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是()A.地球的质量m地=GR2gB.太阳的质量m太=42L23GT22C.月球的质量m月=42L12GT12D.地球的密度地=3g4RG思维点拨求解地球的质量和密度,可根据万有引力等于重力来求;太阳的质量可根据地球绕太阳转动求解。对点演练3.(2020湖北武汉联考)一质量为m的物体,在火星两极宇航员用弹簧测力计测得其所受的重力为F1,在火星赤道上宇航员
13、用同一弹簧测力计测得其所受的重力为F2,火星的自转角速度为,引力常量为G,将火星看成是质量分布均匀的球体,则火星的密度和半径分别为()A.3F124G(F1-F2)F1-F2m2B.324GF1F2m2C.3F124G(F1-F2)F1+F2m2D.324GF1-F224.(多选)(2021年1月辽宁省适应性测试)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时,轨道半径为r,速度大小为v。已知月球半径为R,引力常量为G,忽略月球自转的影响。下列选项正确的是()A.月球平均密度为3v24GR2B.月球平均密度为3v2r4GR3C.月球表面重力加速度为v2RD.月球表面重力加速度为v2rR2考点三三个宇
14、宙速度的理解及卫星参量的比较与计算(师生共研)1.物理量随轨道半径变化的规律GMmr2=maa=GMr2a1r2mv2rv=GMrv1rm2r=GMr31r3m42T2rT=42r3GMTr3越高越慢2.卫星问题常见的四个比较对象(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的,常用于无线电通信,故又称通信卫星。(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径,其运行线速度约为7.9 km/s。(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运
15、动,由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力),它的运动规律不同于卫星,但它的周期、角速度与同步卫星相等。3.卫星发射速度与卫星运动轨迹的关系(1)v发=7.9 km/s时,卫星绕地球做匀速圆周运动。(2)7.9 km/sv发11.2 km/s,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2 km/sv发16.7 km/s,卫星绕太阳做椭圆运动。(4)v发16.7 km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。【典例3】木星的质量约是地球的318倍,已知木星的一颗卫星甲的轨道半径和地球的卫星乙的轨道半径相同,且它们均做匀速圆周运动,则下列说法正确的是()
16、A.卫星甲的周期可能大于卫星乙的周期B.卫星甲的线速度可能小于卫星乙的线速度C.卫星甲的向心加速度一定大于卫星乙的向心加速度D.卫星甲所受的万有引力一定大于卫星乙所受的万有引力思维点拨万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力,根据牛顿第二定律和向心加速度的表达式可求卫星参量的表达式,再根据表达式进行讨论即可求解。对点演练5.(2020北京卷)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%,半径约为地球半径的50%,下列说法正确的是()A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C.火星的第一宇宙速度大于地球
17、的第一宇宙速度D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度6.如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图,已知A、B、C三颗卫星均做匀速圆周运动,A是地球同步卫星,三个卫星的半径满足rA=rB=nrC,已知地球自转周期为T,地球质量为M,引力常量为G,下列说法正确的是()A.卫星B也是地球同步卫星B.根据题设条件可以计算出同步卫星离地面的高度C.卫星C的周期为nnTD.A、B、C三颗卫星的运行速度大小之比为vAvBvC=11n考点四多星系统模型(师生共研)1.双星(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即Gm1m2l2=m112r1,Gm1m2l2=m222r2。(2)两颗星的
18、周期及角速度都相同,即T1=T2,1=2。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系:r1+r2=l。(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即m1m2=r2r1。(5)双星的运动周期T=2l3G(m1+m2)。(6)双星的总质量公式m1+m2=42l3T2G。2.多星(1)三星模型:三颗星位于同一直线上,两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。(2)四星模型:四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。三颗质量相等星体始终位于正三角
19、形的三个顶点上,另一颗位于中点O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。【典例4】双星系统中两个星球A、B的质量都是m,相距L,它们围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0,且TT0=k(0k1),于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响,并认为C位于A、B的连线正中间,相对A、B静止,则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为()A.2L2Gm,1+k24kmB.2L32Gm,1+k24k2mC.22GmL3,1+k24kmD.2L32Gm,1-k24k2m解题指导审题关键词句分析解读双星系统中两个星球A、B
20、的质量都是m,相距LA、B两星圆周运动周期相等,两者间的万有引力提供向心力实际观测周期T小于理论周期T0,认为未发现的星球C位于A、B的连线正中间A、B、C形成三星系统,C位于中心,A、B以周期T绕C做匀速圆周运动,轨道半径为L2破题根据两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力,且角速度相同列式求解。对点演练7.(2020湖北荆州质检)双星的运动是引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动,测得P星的周期为T,P、Q两颗星的距离为l,P、Q两颗星的轨道半径之差为r(P星的轨道半径大于Q星的轨道半径),引力常量为G,
21、求:(1)P、Q两颗星的线速度大小之差的绝对值v;(2)P、Q两颗星的质量之差的绝对值m。8.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系统离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上,均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动;另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。设每个星体的质量均为m,试求两种形式下,星体运动的周期T1和T2。(已知引力常量为G)第4节万有引力定律及其应用必备知识预案自诊
22、知识梳理一、开普勒行星运动定律椭圆椭圆面积三次方二次方二、万有引力定律2.质点3.(1)质量三、宇宙速度7.9匀速圆周11.2地球16.7太阳四、地球卫星2.(1)赤道平面(2)相同24 h(3)相同3.(1)南北两极(2)地球的半径7.9五、绝对时空观和相对论时空观2.运动状态考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.答案11GMm36R2解析设原来球体的密度为,则=M43R3,在球体内部挖去半径为R2的球体,挖去球体的质量为m=43R23=M8,挖去球体前,球与质点的万有引力F1=GMm(2R)2=GMm4R2,被挖部分对质点的万有引力为:F2=GM8m3R22=GMm18R2,填充物
23、密度为原来物质的2倍,则填充物对质点的万有引力为挖去部分的二倍,填充后的实心球体对m的万有引力为:F1-F2+2F2=11GMm36R2。3.答案(1)2.5 m/s2(2)2.8 km/s解析(1)根据h=12gt2得t=2hg则水平射程x=v0t=v02hg,得g=2hv02x2因为初速度相等,高度相等,故该星球表面重力加速度与地球表面的重力加速度之比为gg=x2(2x)2=14,则g=14g=2.5m/s2(2)设地球的第一宇宙速度为v,即地球的近地卫星运行速度为v,则有mg=mv2R解得地球的第一宇宙速度为v=gR同理,星球上的第一宇宙速度v=gR=g4R2=24v=247.9km/s
24、=2.8km/s关键能力学案突破典例1A若将挖去的小球体用原材料补回,可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差,由于质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零,故O2处质点所受的万有引力可等效于半径为R的球对处于其表面质量为m的质点的引力,半径为R的球质量为18M,则由万有引力定律知剩余部分对O2处质点的万有引力为GMm8R2,故A正确。对点演练1.D自转周期为T0时恰能维持星体的稳定,有GMmR2=mR42T02,当中子星的自转周期增为2T0时,在两极有GMmR2=mg,在赤道有GMmR2-mg=mR22T02,联立解得mgmg=43,选项D正确。2.BD
25、分析题图可知,万有引力提供向心力,ma1=GMmR2,当h=h0时,ma2=GMm(R+h0)2,联立解得火星半径R=a2a1-a2h0,火星质量M=a2a1a1-a22h02G,选项A错误,D正确;当h=0时,探测器绕火星表面运行,火星表面的重力加速度大小为a1,选项B正确,C错误。典例2BD根据地球表面万有引力近似等于重力,有Gm地mR2=mg,则m地=gR2G,故A错误;根据太阳对地球的万有引力提供向心力,有Gm太m地L22=m地42T22L2,则m太=42L23GT22,故B正确;由m地=gR2G和地=m地V地,V地=43R3,可求出地球的平均密度地=3g4RG,D正确;由题中数据无法
26、求出月球的质量,故C错误。对点演练3.A在两极有GMmR2=F1,在赤道上有GMmR2-F2=m2R,联立解得R=F1-F2m2,M=F1R2Gm,根据M=43R3,可得火星的密度=3F124G(F1-F2),故A正确,B、C、D错误。4.BD根据万有引力定律和牛顿第二定律可得GMmr2=mv2r,又M=43R3解得=3v2r4GR3,A错误,B正确;由于GMmR2=mg,联立可得g=v2rR2C错误,D正确。故选BD。典例3C根据万有引力提供卫星圆周运动向心力有GmMr2=mr42T2=mv2r=ma可得:周期T=42r3GM,两颗卫星的轨道半径相同,但木星的质量大,故其周期小,即甲卫星的周
27、期小于乙卫星的周期,故A错误;线速度v=GMr,两颗卫星的轨道半径相同,但木星的质量大,故线速度大,即甲卫星的线速度大于乙卫星的线速度,故B错误;向心加速度a=GMr2,两颗卫星的轨道半径相同,但木星的质量大,故其向心加速度大,即甲卫星的向心加速度大于乙卫星的向心加速度,故C正确;木星的质量大,但不知道两颗卫星的质量大小关系,故无法求得它们间万有引力的大小,故D错误。对点演练5.A当发射速度大于地球的第二宇宙速度时,探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动,火星在太阳系内,所以火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度,故A正确;当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时,探测器将围绕地
28、球运动,故B错误;根据万有引力提供向心力,有GMmR2=mv12R,解得第一宇宙速度为v1=GMR,所以火星的第一宇宙速度为v火=10%50%v地=55v地,所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度,故C错误;万有引力近似等于重力,则有GMmR2=mg,解得火星表面的重力加速度g火=GM火R火2=10%(50%)2g地=25g地,所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度,故D错误。6.D地球同步卫星必须定点于赤道正上方,所以卫星B不是地球同步卫星,故A错误;对同步卫星由万有引力提供向心力得GMm(R+h)2=m42T2(R+h),由于不知道地球半径,所以无法求出同步卫星离地面的高度
29、,故B错误;A是地球同步卫星,其周期为T,A的轨道半径为C的n倍,由开普勒第三定律r3T2=k,得卫星C的周期为1n3T,故C错误;由卫星速度公式v=GMr得,A、B、C三颗卫星的运行速度大小之比为vAvBvC=11n,故D正确。典例4DA、B做匀速圆周运动的周期相同,设为T0,根据万有引力提供向心力可得GmmL2=m42T02r1=m42T02r2,r1+r2=L,可解得T0=2L32Gm;由于C的存在,A、B、C构成三星系统,则A星的向心力由B、C对它的万有引力的合力提供,即GmmL2+GmCm(L2)2=m42T2L2,又TT0=k,可求得mC=1-k24k2m,故选项D正确,A、B、C
30、错误。对点演练7.答案(1)2rT(2)42l2rGT2解析(1)P星的线速度大小vP=2rPT,Q星的线速度大小vQ=2rQT,则P、Q两颗星的线速度大小之差的绝对值v=vP-vQ=2rT。(2)双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,则有GmPmQl2=mPrP42T2=mQrQ42T2解得mP=42l2rQGT2,mQ=42l2rPGT2则P、Q两颗星的质量之差的绝对值m=mQ-mP=42l2rGT2。8.答案2a2a(4+2)Gm2aa3(1+3)Gm解析对于第一种形式,一个星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,其轨道半径为r1=22a由万有引力定律和向心力公式得Gm22a2+2Gm2a2cos45=m22a42T12解得T1=2a2a(4+2)Gm对于第二种形式,其轨道半径为r2=33a由万有引力定律和向心力公式得Gm2r22+2Gm2a2cos30=mr242T22解得T2=2aa3(1+3)Gm