1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知i是虚数单位，则2i（1+i）=( )A2+2iB2+2iC2iD2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：根复数的基本运算进行求解即可解答：解：2i（1+i）=2i+2i2=2+2i，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础2已知集合A=x|（x3）（x+1）0，B=x|2x2，则AB=( )Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x2Dx|x2考点：交集及其运算 专题：集
2、合分析：求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出两集合的交集即可解答：解：由A中不等式解得：1x3，即A=x|1x3，由B中不等式变形得：2x2=21，得到x1，即B=x|x1，则AB=x|1x3，故选：B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3若sincos0，则角是( )A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第二或第四象限角考点：象限角、轴线角 专题：计算题分析：直接利用三角函数的值的符号，判断所在象限即可解答：解：因为sincos0，所以sin，cos异号，即或，所以第二或第四象限角故选D点评：本题考查三角函数值的符号，角所在象限的判断，基本
3、知识的应用4已知函数f（x）=cosxsinx，f（x）为函数f（x）的导函数，那么等于( )ABCD考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的运算法则求导，再代值计算即可解答：解：f（x）=sinxcosx，f（）=sincos=，故选：C点评：本题考查了导数的运算法则和导数的基本公式，属于基础题5设a=20.3，b=log43，5，则( )AcabBbcaCbacDcba考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：确定a=20.3，b=log43，5，这些数值与0、1的大小即可解答：解：a=20.31，0b=log43b=log44=1，50，cba，故选：D点评：本
4、题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较6设a，bR，则“ab1”是“aba2b2”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答：解：设命题p：ab1；则ab0，命题q：aba2b2化简得（ab）（a+b）（ab），又a，bR，pq，q推不出p，P是q的充分不必要条件，即“ab1”是“aba2b2”的充分不必要条件，故选：A点评：本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题
5、7若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是( )Aa|1a3或a5Ba|1a3或a5Ca|1a5Da|3a5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域为三角形，建立条件关系即可求m的取值范围解答：解：先作出不等式组对应的平面区域如图：（ABC），不等x+ya表示的平面区域为直线x+y=a的左下面要使不等式组表示的平面区域是一个三角形，当A（1，4）在直线x+y=a的下方时，满足条件，即此时1+4a，即a5当直线x+y=a经过BC线段时，也满足条件，此时满足B（1，0）在直线x+y=a的下方，同时C（3，0）在x+y=a的上方或在
6、直线上，即，即1a3，综上1a3或a5，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组和平面区域之间的关系是解决本题的关键，注意利用数形结合8已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=3，且当x3时，f（x）=2x3若函数f（x）在区间（k1，k）（kZ）上有零点，则k的值为( )A2或7B2或8C1或7D1或8考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：先作出当x3时函数f（x）=2x3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可解答：解：作出当x3时函数f（x）=2x3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）f（1）=213=10
7、，f（2）=223=10，f（1）f（2）0，有零点的区间是（1，2），因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=3，故另一个零点的区间是（8，7），则k的值为2或7故选A点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应位置上.9已知sin=，则cos=；tan=考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：由sin的值及的范围
8、，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，进而求出tan的值解答：解：sin=，（0，），cos=；tan=故答案为：；点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键10函数y=+lgx的定义域是（0，2考点：函数的定义域及其求法 专题：常规题型分析：根据函数的结构，可以知道要使函数有意义需要满足：被开放式大于等于零以及真数大于零，解不等式组即可解答：解：由题意知，所以0x2，即函数的定义域为（0，2，故答案为（0，2点评：本题考察函数定义域的求法，从解析式来看这是该类题目中比较简单、比较基础的了11已知平面向量=（1，3），=（4，2），+与垂直，则=1考点：
9、数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：先求出互相垂直的2个向量的坐标，再利用这2个向量的数量积等于0，求出待定系数 的值解答：解：，（）（+4）1+（32）（3）=0=1，故答案为1点评：本题考查2个向量坐标形式的运算法则，及2个向量垂直的条件是他们的数量积等于012已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=135，则a=1，SABC=考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：由余弦定理列出关系式，将b，c，cosB的值代入求出a的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可解答：解：ABC中，c=，b=，B=135，由余弦定理得：b2=a2+c2
10、2accosB，即5=a2+2+2a，解得：a=3（舍去）或a=1，则SABC=acsinB=1=故答案为：1；点评：此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键13在数列an中，已知a2=4，a3=15，且数列an+n是等比数列，则an=23n1n；考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由于数列an+n是等比数列，可得，解得a1即可得到公比q=再利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：数列an+n是等比数列，（4+2）2=（a1+1）（15+3），解得a1=1公比q=an+n=23n1an=23n1n，故答案为：23n1n点评：本题考查了等比数列的
11、定义及其通项公式，属于基础题14已知函数f（x）=exalnx的定义域是（0，+），关于函数f（x）给出下列命题：对于任意a（0，+），函数f（x）存在最小值；对于任意a（，0），函数f（x）是（0，+）上的减函数；存在a（，0），使得对于任意的x（0，+），都有f（x）0成立；存在a（0，+），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是考点：函数零点的判定定理；函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根解答：解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+），f（x）=ex，a（0，+），
12、存在x有f（x）=ex=0，可以判断函数有最小值，正确，a（，0）f（x）=ex0，是增函数所以错误，画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正确令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a（0，+），f（x）=exalnx=0有两个根，正确故答案为：点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案填在答题卡的相应位置上.15在等差数列an中，a3=2，a9=2a4（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数
13、列与等比数列分析：（1）根据等差数列的性质得出方程组求解得出a1，d运用通项公式求解即可（2）把bn裂项得出=，出现正负项，即可求解和解答：解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d因为所以解得所以通项公式为：（）因为，所以=点评：本题考察了等差数列的常规题型知三求二，裂项法求解数列的和，属于中档题，计算准确即可16已知函数f（x）=sinxcosx+（）求f（x）的最小正周期和最大值；（）求f（x）的单调递增区间考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的图
14、象和性质即可求得最大值（）由，即可求得函数f（x）的单调增区间解答：（本小题满分13分）解：（）=，所以函数f（x）的最小正周期为当，即时取得最大值为1（）令 ，得 故函数f（x）的单调增区间为 点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查17已知函数f（x）=lnx，aR（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（II）讨论f（x）的单调性考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（I）求出a=2的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可
15、得到所求切线方程；（II）求得函数的导数，讨论（i）若a0，（ii）若a0，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间解答：解：（I）当a=2时，f（x）=x2lnx，则f（1）=1，f（1）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为l：yf（1）=f（1）（x1），所以切线方程为l：xy=0；（II）函数f（x）的定义域为（0，+）（i）若a0，f（x）0恒成立，则f（x）在（0，+）上单调递减（ii）若a0，令f（x）=0，则当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：xf（x）0+f（x）极小值所以f（x）在上单调递减，在上单调递增点评：本题考查导数的运用：求切线
16、方程和单调区间，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键18已知M是由所有满足下述条件的函数f（x）构成的集合：方程f（x）x=0有实数根；设函数f（x）的导函数f（x），且对f（x）定义域内任意的x，都有f（x）1（）判断函数f（x）=2x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；（）若函数g（x）=lnx+ax是集合M中的元素，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）先求出函数f（x）的导数，得到当cosx=1时，f（x）=1，不符合条件，从而得出结论；（）先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合新定义从而求出a的范围解答：解：（）f（x）=
17、2+cosx，当cosx=1时，f（x）=1，不符合条件，函数f（x）不是集合M中的元素；（）g（x）是集合M中的元素，g（x）=+a1对于任意x0均成立，即a1（x0）恒成立，即a1，令G（x）=g（x）x=lnx+（a1）x，依题意g（x）是集合M中的元素，必满足a1，当a1时，G（x）=+a10对任意x0恒成立，G（x）在（0，+）递增，又G（ea）=lnea+aeaea=a（ea1）ea0，G（e）=1+（a1）e0，方程G（x）=g（x）x=0有实根，也符合条件，当a1时，在x0时，g（x）=+a1与条件矛盾，综上，a1点评：本题考查了新定义问题，考查导数的应用、函数的单调性，是一道中档题高考资源网版权所有，侵权必究！