1、第三章导数及其应用3.1变化率与导数课后篇巩固提升1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,x=0.1时,y的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解析y=f(x+x)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.答案B2.已知函数f(x)=ax+3,若f(1)=3,则a等于()A.2B.-2C.3D.-3解析因为f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0a(x+x)+3-(ax+3)x=a,故f(1)=a=3.答案C3.设f(x)为R上的可导函数,且满足limx0f(1)-f(1-x)2x=-1,则f(1)为()A.2
2、B.-1C.1D.-2解析因为limx0f(1)-f(1-x)2x=12limx0f(1)-f(1-x)1-(1-x)=12f(1)=-1,所以f(1)=-2,故选D.答案D4.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于()A.1B.12C.-12D.-1解析因为y|x=1=limx0a(1+x)2-a12x=limx02ax+a(x)2x=limx0(2a+ax)=2a,所以2a=2,故a=1.答案A5.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f(1)的值是()A.12B.1C.32D.2解析(1,f(1)在直
3、线x-2y+1=0上,1-2f(1)+1=0,f(1)=1.又f(1)=12,f(1)+2f(1)=1+212=2.答案D6.质点A做直线运动,已知其位移与时间的关系是s(t)=3t2,则在t0=2时的瞬时速度为.解析根据题意,t0=2时的瞬时速度即为s(2),根据导数的定义,st=s(2+t)-s(2)t=12+3t,所以,s(2)=limt0st=limt0(12+3t)=12.答案127.已知函数f(x)=2x-3,则f(5)=.解析因为y=f(5+x)-f(5)=2(5+x)-3-(25-3)=2x,所以yx=2,故f(5)=limx0yx=2.答案28.已知f(x)=x2+ax,f(
4、1)=4,则曲线f(x)在x=1处的切线方程为.解析f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)2+a(x+x)-(x2+ax)x=2x+a,f(1)=2+a=4,得a=2.故f(1)=1+a=3,所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.答案4x-y-1=09.利用导数的定义求函数f(x)=x+2在x=2处的导数.解y=(2+x)+2-2+2=4+x-2,yx=4+x-2x=(4+x-2)(4+x+2)x(4+x+2)=14+x+2,f(2)=limx0yx=limx014+x+2=14.10.求曲线f(x)=1x和g(x)=x2在
5、交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.解由方程组y=1x,y=x2,得曲线的交点是A(1,1).对曲线f(x)=1x求导,f(x)=limx0yx=limx01x+x-1xx=limx0-1x(x+x)=-1x2.曲线y=1x在点A处的切线斜率k1=f(1)=-1,切线方程是l1:y=-x+2.对曲线g(x)=x2求导数,g(x)=limx0yx=limx0(x+x)2-x2x=limx0(2x+x)=2x.曲线y=x2在点A处的切线斜率k2=g(1)=2,切线方程是l2:y=2x-1.又l1,l2与x轴的交点坐标分别为(2,0),12,0.所以它们与x轴所围成的三角形的面积S=122-121=34.
