1、2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线x29-y216=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A.6B.8C.9D.10解析由已知得左焦点(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.答案B2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=2D.x2-y2=12解析由题意,设双曲线方程为x2a2-y2a2=1(a0),则c=2a,一条渐近线为y=x,|2a|2=2,a2=2.双曲线方程为x2-y2=2.答案B3.已知双曲线C:x2-y2b2=1的
2、一个焦点为(-2,0),则双曲线C的一条渐近线方程为()A.x+3y=0B.3x+y=0C.x+3y-3=0D.3x+y-3=0解析由题意知,a=1,c=2,又c2=a2+b2,解得b=3.所以双曲线C的一条渐近线方程为y=-bax=-3x,即3x+y=0.故选B.答案B4.下列双曲线中,不是以2x3y=0为渐近线的是()A.x29-y24=1B.y24-x29=1C.x24-y29=1D.y212-x227=1解析C项中的双曲线x24-y29=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=32x,不是2x3y=0.答案C5.两正数a,b的等差中项为52,等比中项为6,且ab,则双曲线x2a2-y2b2=
3、1的离心率e为()A.13B.53C.53D.133解析因为两正数a,b的等差中项为52,等比中项为6,所以a+b=5,ab=6,解得a=3,b=2或a=2,b=3,因为ab,所以a=3,b=2,所以e=ca=a2+b2a2=133.故选D.答案D6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.解析双曲线x2-y2b2=1(b0)过点(3,4),32-42b2=1,解得b2=2,即b=2或b=-2(舍去).a=1,且双曲线的焦点在x轴上,双曲线的渐近线方程为y=2x.答案y=2x7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条
4、渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.解析由题意可得ba=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为x25-y220=1.答案x25-y220=18.若一条双曲线与x28-y2=1有共同渐近线,且与椭圆x220+y22=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.解析由椭圆x220+y22=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=32.设与双曲线x28-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为x28-y2=(0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则0,双曲线方程化为x28-y2=1,根据椭圆
5、和双曲线共焦点,所以有8+=18,解得=2,所以所求双曲线的方程为x216-y22=1.答案x216-y22=19.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为53;(2)与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23).解(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则由题可得2b=8,e=ca=53,从而b=4,c=53a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为x29-y216=1.(2)设所求双曲线方程为x29-y216=(0),将点(-3,23)代入得=14,所以双曲线方程为x29-y216=14,即4
6、x29-y24=1.10.已知双曲线x23-y2b2=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.解(1)双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为x23-y2b2=1,c2=a2+b2=3+b2=4,b2=1,双曲线的方程为x23-y2=1.(2)a=3,b=1,双曲线的渐近线方程为y=33x.令x=-2,则y=233,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=433.记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=124332=433.能力提升1.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)
7、右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若MAN=60,则C的离心率为()A.2B.233C.5D.52解析因为MAN=60,而AM=AN=b,所以AMN是等边三角形,A到直线MN的距离为32b,又A(a,0),渐近线方程取y=bax,即bx-ay=0,所以|ab|a2+b2=32b,化简得e=ca=23=233.故选B.答案B2.若在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e2B.1e2D.1e0,b0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=c
8、2与右支有两个交点,故应满足c2a,即ca2,得e2,故选C.答案C3.已知ab0,若椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2-y2b2=1的离心率之积为32,则双曲线的渐近线方程为.解析由已知及椭圆、双曲线的几何性质,得1-ba21+ba2=32,解得ba=12,所以双曲线的渐近线方程为y=12x,即x2y=0.答案x2y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.解析设一条渐近线方程为y=kx,由-6=8k,得k=-34,所以渐近线方程为y=34x.若焦点在x轴上,则ba=34,于是离心率e=ca=1+ba2=54;若焦点在y轴上,则ab=
9、34,于是离心率e=ca=1+ba2=53.答案54或535.已知双曲线C与椭圆x225+y29=1有相同的焦点,且它们的离心率之和为145,求双曲线的标准方程、渐近线方程、实轴长和虚轴长.解由x225+y29=1可知椭圆中a12=25,b12=9,所以c2=a12-b12=16,解得c=4,所以椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),离心率为e1=45,不妨设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则其离心率e=ca=145-45=2,由c=4,可知a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12,b=23,故所求双曲线的标准方程为x24-y212=1,渐近线方程为y=bax,y=
10、3x,实轴长为2a=4,虚轴长为2b=43.6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为45,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.解(1)设椭圆C1的标准方程为x2a12+y2b12=1(a1b10),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=c1a1=45,c1=4,b1=3,椭圆C1的标准方程为x225+y29=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=b2a,|MN|=2b2a.以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,a+c=b2a,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e1,e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,c=4,a2=4,b2=12,双曲线C2的标准方程为x24-y212=1.
