1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.2利用导数研究函数的极值1函数y=(x2-1)3+1有()A.极大值点-1B.极大值点0C.极小值点0D.极小值点1解析：y=3(x2-1)2(x2-1)=6x(x2-1)2,当x0,且x1时,y0;当x0,且x-1时,y-3B.a-13D.a-13解析：令y=aeax+3=0,得eax=-3a.设x0为大于0的极值点,则eax0=-3a.a0,ax00.0eax01,即0-3a1.a0时,x1;当y0时,-1x1.函数的递增区间为(-,-1)和(1,+),递减区间为(-1,1).当x=-1时,y取得极大值;当x=1时,y取得极小值.要使函数图象与x轴恰
2、有两个公共点,只需f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)3-3(-1)+c=0或13-31+c=0,解得c=-2或c=2.答案：A6下列四个函数中存在极值的是.(填序号)y=1x;y=x23-23x;y=2;y=x3.答案：7关于函数f(x)=x3-3x2,给出下列说法:f(x)是增函数,无极值;f(x)是减函数,无极值;f(x)的增区间是(-,0和2,+),减区间是0,2;f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.其中正确的是.(填序号)解析：f(x)=3x2-6x=3x(x-2).令f(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化状态如下表:x(-,0)0(0,2
3、)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值0极小值-4由上表可以清晰地看出,f(x)在区间(-,0和区间2,+)上是增函数,在区间0,2上是减函数,且f(x)的极值情况是:f(x)极大值=f(0)=0,f(x)极小值=f(2)=-4,可知是正确的.答案： 8如图是函数y=f(x)导数的图象,对于下列四种说法:f(x)在区间-2,-1上是增函数;x=-1是f(x)的极小值点;f(x)在区间-1,2上是增函数,在区间2,4上是减函数;3是f(x)的极小值点.其中正确的是.(填序号)解析：根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断.答案：9设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.(1)求f(x
4、)的单调区间;(2)求f(x)在区间-34,14上的最值.分析：先求定义域,再按照求单调区间、最值的步骤求解即可.解f(x)的定义域为-32,+.(1)f(x)=22x+3+2x=2(2x+1)(x+1)2x+3.当-32x0;当-1x-12时,f(x)-12时,f(x)0.故f(x)的单调增区间为-32,-1,-12,+,单调减区间为-1,-12.(2)由(1)知f(x)在区间-34,14上的最小值为f-12=ln 2+14.又因为f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990恒成立,故f(x)在-2,-1上单调递增,要使f(x)2e2恒成立,则f(-2)=e-2(4a+a+1)2e2,解得a15.方法二 f(x)=ex(ax2+2ax+a+1)=exa(x+1)2+1.当a0时,f(x)0在-2,-1上恒成立,故f(x)在-2,-1上单调递增,f(x)min=f(-2)=e-2(5a+1)2e2,即a15.当a0,u(-2)=a+1.1 当a+10,即-1a0时,f(x)0在-2,-1上恒成立,所以f(x)在-2,-1上单调递增,f(x)min=f(-2)=e-2(5a+1)2e2,即a15,不合题意,舍去.2 当a-1时,f(x)=ex(ax2+a+1)0,不合题意,舍去.综上所述,a15.- 5 - 版权所有高考资源网
