1、1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1已知函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+)内是增函数,则实数a的取值范围是()A.3,+)B.-3,+)C.(-3,+)D.(-,-3)解析：f(x)=3x2+a.令3x2+a0,得a-3x2.由题意a-3x2在x(1,+)内恒成立,a-3.答案：B2下列函数中,在(0,+)内是增函数的是()A.f(x)=sin2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+ln(1+x)解析：选项B中,f(x)=xex,在区间(0,+)内,f(x)=ex+xex=ex(1+x)0,故f(x)在(0,+)内是增函数.答案：B3已知f(
2、x),g(x)均为(a,b)内的可导函数,在a,b上没有间断点,且f(x)g(x),f(a)=g(a),则当x(a,b)时有()A.f(x)g(x)B.f(x)g(x),f(x)-g(x)0,即f(x)-g(x)0,f(x)-g(x)在(a,b)内是增函数.f(x)-g(x)f(a)-g(a).f(x)-g(x)0,f(x)g(x).答案：A4设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当axf(b)g(b)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(x)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：记F(x)=f(x)g
3、(x),则F(x)=f(x) g(x)-f(x) g(x)g2(x).f(x) g(x)-f(x) g(x)0,F(x)0,即F(x)在(a,b)内是减函数.又axF(b).f(x)g(x)f(b)g(b).f(x)g(b)g(x)f(b).答案：C5设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)解析：f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),由题意知,当x0.f(x)g(x)在(-,0)内是增函数.又g(-
4、3)=0,f(-3)g(-3)=0.当x(-,-3)时,f(x)g(x)0.又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f(x)g(x)在R上是奇函数,其图象关于原点对称.当x(0,3)时,f(x)g(x)0.故不等式f(x)g(x)0的解集是(-,-3)(0,3).答案：D6函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为.解析：f(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11),令3(x+1)(x-11)0,得-1x11,故所求减区间为(-1,11).答案：(-1,11)7使函数y=sin x+ax在R上是增函数的实数a的取值范围为.解析：y=cos x+a,cos
5、x+a0在R上恒成立,a-cos x,又-1cos x1,a1.答案：1,+) 8已知函数y=f(x)(xR)的图象上任一点(x0,f(x0)处切线的斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为.解析：由于在某点处切线的斜率就是函数在该点的导数值,所以由题意知f(x)=(x-2)(x+1)2,由f(x)0,解得x2,故单调递减区间为(-,2).答案：(-,2)9已知0xx.分析：设f(x)=tan x-x,x0,2,注意到f(0)=tan 0-0=0,因此要证的不等式变为:当0xf(0).这只要证明f(x)在0,2内是增函数即可.证明令f(x)=tan x-x,显然f(x)在0
6、,2内是连续的,且f(0)=0.f(x)=(tan x-x)=1cos2x-1=tan2x,当x0,2时,f(x)0,即在区间0,2内f(x)是增函数.故当0xf(0)=0,即tan x-x0.故当0xx. 10已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.分析：根据题意,列方程组求出b,c,d的值.再应用导数求单调区间.解(1)由f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.由f(x)在点M(-1,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,所以f(-1)=1,又f(-1)=6,所以3-2b+c=6,-1+b-c+2=1,即2b-c=-3,b-c=0.解得b=c=-3.故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f(x)=3x2-6x-3.令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0,解得x1=1-2,x2=1+2.当x1+2时,f(x)0;当1-2x1+2时,f(x)0.故f(x)的单调递增区间为(-,1-2)和(1+2,+),单调递减区间为(1-2,1+2).
