1、课时跟踪检测（十） 垂直关系的性质一、基本能力达标1在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交B平行C异面 D相交或平行解析：选B由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行2平面平面，直线a，则()Aa BaCa与相交 D以上都有可能解析：选D因为a，平面平面，所以直线a与垂直、相交、平行都有可能故选D.3已知三个平面，若，且与相交但不垂直，则()A存在a，a B存在a，aC任意b，b D任意b，b解析：选B因为三个平面，若，且与相交但不垂直，则可知存在a，a，选B.4已知平面，和直线m，l，则下列命
2、题中正确的是()A若，m，lm，则lB若m，l，lm，则lC若，l，则lD若，m，l，lm，则l解析：选D选项A缺少了条件：l；选项B缺少了条件：；选项C缺少了条件：m，lm；选项D具备了面面垂直的性质定理的条件5.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD平面ABCD，PAPD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()APEACBPEBCC平面PBE平面ABCDD平面PBE平面PAD解析：选D因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD，所以PEAC，PEBC，所以A、B成立又PE平面PBE，所以平面PBE平面A
3、BCD，所以C成立若平面PBE平面PAD，则AD平面PBE，必有ADBE，此关系不一定成立，故选D.6.如图，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为_解析：CACB，O为AB的中点，COAB.又平面ABC平面ABD，交线为AB，CO平面ABD.OD平面ABD，COOD，COD为直角三角形所以图中的直角三角形有AOC，COB，ABC，AOD，BOD，COD共6个答案：67.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为_解析：如图，连接BC，二角面l为直二面角，AC，且ACl，AC.
4、又BC，ACBC，BC2AB2AC23，又BDCD，CD.答案：8已知m，n是直线，是平面，给出下列说法：若，m，nm，则n或n；若，m，n，则mn；若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；若m，nm且n，n，则n且n.其中正确的说法序号是_(注：把你认为正确的说法的序号都填上)解析：错，垂直于交线，不一定垂直平面；对；错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；对答案：9.如图，PA平面ABD，PC平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EFAC.求证：.证明：PA平面ABD，PC平面BCD，PABD，PCBD，PCEF.又PAPCP，BD平面PAC.又EFAC，PCACC
5、，EF平面PAC，EFBD，.10如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EFAC，且EF1，AGAC1.所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，CEAC，且平面ACEF平面ABCDAC，所以CE平面ABCD，所以CEBD.又
6、ACCEC，所以BD平面ACEF，所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.二、综合能力提升1已知l，m，n是三条不同的直线，是一平面下列命题中正确的个数为()若lm，mn，l，则n；若lm，m，n，则ln；若l，lm，则m.A1B2C3 D0解析：选B对于，因为lm，mn，所以ln，又l，所以n，即正确；对于，因为m，n，所以mn，又lm，所以ln，即正确；对于，因为l，lm，所以m或m或m或m与斜交，即错误2设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出如下命题：若，则；若，m，m，则m；若，m，则m.其中正确命题的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B中，可能平行，也可能相交，
7、不正确；中，m，m时，只可能有m，正确；中，m与的位置关系可能是m或m或m与相交，不正确综上，可知正确命题的个数为1，故选B.3如图所示，三棱锥PABC的底面在平面上，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()A一条线段 B一条直线C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点解析：选D平面PAC平面PBC，ACPC，AC平面PAC，且平面PAC平面PBCPC，AC平面PBC.又BC平面PBC，ACBC，ACB90，动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.4在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC
8、4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A2 B2C4 D4解析：选B如图，连接CM，则由题意PC平面ABC，可得PCCM，所以PM ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos cos _.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.答案：26如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为_
9、解析：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，ABBD，所以AB平面BCD.所以平面ABC平面BCD.在折起前，因为ABBD，ABCD，所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，所以平面ACD平面ABD，共3对答案：37.(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解：(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以
10、AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，所以DECG.因为四边形BCGE是菱形，且EBC60，所以EMCG，又DEEME，所以CG平面DEM.所以DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.探究应用题8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，D是BC的中点，侧面BB1C1C底面ABC.(1)求证：ADCC1；(2)
11、过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1平面BB1C1C，则AMMA1吗？请叙述你的判断理由解：(1)证明：ABAC，D是BC的中点，ADBC.底面ABC平面BB1C1C，底面ABC平面BB1C1CBC，AD平面BB1C1C.又CC1平面BB1C1C，ADCC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.AMMA1，NA1A1B1.A1C1A1NA1B1，C1NB1C1，C1N侧面BB1C1C.截面MBC1侧面BB1C1C.(3)结论正确证明如下：过M作MEBC1于点E，连接DE.截面MBC1侧面BB1C1C，ME侧面BB1C1C.又AD侧面BB1C1C，MEAD，M，E，D，A四点共面MA侧面BB1C1C，AMDE.四边形AMED是平行四边形，又AMCC1，DECC1.BDCD，DECC1，AMCC1AA1.AMMA1.