1、课时跟踪检测(四) 等差数列的性质及其应用1在等差数列an中，a1a910，则a5()A5 B6 C8 D9解析：选A由等差中项的性质得a1a92a510，所以a55.2在等差数列an中，a12，a3a510，则a7()A5 B8 C10 D14解析：选B法一：设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.法二：由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.3已知数列an为等差数列，若a1a5a9，则cos(a2a8)的值为()A B C. D解析：选A数列an为等差数列，a1a5a9，a1a5a93a5，解得a5，a2a82a5，cos
2、(a2a8)cos cos .故选A.4在等差数列an中，a2 016log27，a2 022log2 ，则a2 019()A0 B7 C1 D49解析：选A数列an是等差数列，由等差数列的性质可知2a2 019a2 016a2 022log27log2log210，故a2 0190.5在等差数列an中，若a1，a2 019为方程x210x160的两根，则a2a1 010a2 018()A10 B15 C20 D40解析：选B因为a1，a2 019为方程x210x160的两根，所以a1a2 01910.由等差数列的性质可知，a1 0105，a2a2 018a1a2 01910，所以a2a1 0
3、10a2 01810515.故选B.6某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写_个大字解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a14，a312，所以d4.答案：47设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.解析：由an，bn都是等差数列可知anbn也是等差数列，设anbn的公差为d，所以a3b3(a1b1)2d，则2d217，即d7.所以a5b5(a1b1)4d35.答案：358在等差数列an中，a18，a52，若在数列an中每相邻两项之间插入一
4、个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是_解析：法一：设新的等差数列的公差为d.由a18，a52，得a35，a2，所以d.法二：设新的等差数列为bn，其公差为d，则b1a18，b9a52，所以d.答案：9首项为a1，公差d为正整数的等差数列an满足下列两个条件：(1)a3a5a793；(2)满足an100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值解：a3a5a793，3a593，a531，ana5(n5)d.令an100，得n5.满足an100的n的最小值是15，14515，6d7，又d为正整数，d7，a1a54d3.10某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/
5、件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第1档次)解：设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，a10，每件产品的利润分别为b1，b2，b10，则an，bn均为等差数列，且a160，d13，b18，d22，则an603(n1)3n63，bn82(n1)2n6，所以利润f(n)anbn(3n63)(2n6)6n2108n3786(n9)2864.显然，当n9时，f(n)maxf(9)864.即在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得
6、最大利润1(多选)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)关于这个问题，下列说法正确的是()A甲得钱是戊得钱的2倍B乙得钱比丁得钱多钱C甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D丁、戊得钱的和比甲得钱多钱解析：选AC依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，ad，a2d，且a2dadaada2d，即a6d，又a2dadaada2d5a5，a1，d，即a2d12，a
7、d1，ad1，a2d12，甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误故选A、C.2多选下面是关于公差d0的等差数列an的四个说法，其中正确的是()A数列an是递增数列B数列nan是递增数列C数列是递增数列D数列an3nd是递增数列解析：选ADana1(n1)d，d0，anan1d0，A正确；nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关故数列nan不一定递增，B不正确；对于C：d，当da10，即
8、da1时，数列递增，但da1不一定成立，C不正确；对于D：设bnan3nd，则bn1bnan1an3d4d0.数列an3nd是递增数列，D正确3设数列an的前n项和为Sn，写出一个同时满足条件的等差数列an的通项公式an_.Sn存在最小值且最小值不等于a1；不存在正整数k，使得SkSk1且Sk1Sk2.解析：若a2Sk1且Sk1Sk2，则可得Sn连续两项取得最小值，即存在n使得an0，则可得an的通项公式可以是an2n6.答案：2n6(答案不唯一)4已知an是等差数列，且a1a2a312，a816.(1)求数列an的通项公式；(2)若从数列an中依次取出第2项，第4项，第6项，第2n项，按原来
9、的顺序组成一个新数列bn，试求数列bn的通项公式解：(1)设an的公差为d.a1a2a312，a24.a8a2(82)d，1646d，解得d2.ana2(n2)d4(n2)22n.(2)a24，a48，a612，a816，a2n22n4n.当n1时，a2na2(n1)4n4(n1)4.bn是以4为首项，4为公差的等差数列bnb1(n1)d44(n1)4n.5下表是一个“等差数阵”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(
10、2)写出aij的计算公式，以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置解：(1)a45表示数阵中第4行第5列的数先看第1行，由题意4,7，a15，成等差数列，公差d743，则a154(51)316.再看第2行，同理可得a2527.最后看第5列，由题意a15，a25，a45成等差数列，a45a153d163(2716)49.(2)该“等差数阵”的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j43(j1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j75(j1)；第i行是首项为43(i1)，公差为2i1的等差数列，aij43(i1)(2i1)(j1)2ijijj(2i1)i.要求2 020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得j(2i1)i2 020，j.又jN*，当i1时，得j673.2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列