1、5.3 对数函数的图像和性质第1课时 对数函数的图像和性质内 容 标 准学 科 素 养1.掌握对数函数性质，并会运用性质比较大小，求单调区间，解对数不等式等2.会画对数函数图像，知道多个对数函数图像如何判断相对位置，会对对数函数图像进行简单的变换3.了解互为反函数的两函数图像关于直线yx对称.恰当分类讨论强化数形结合规范性质应用01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 对数函数的图像与性质 知识梳理 对数函数的图像与性质定义ylogax(a0，且 a1)底数a10a1图像定义ylogax(a0，且 a1)定义域值域R单调性在(0，)上是增
2、函数在(0，)上是减函数共点性图像过点，即 loga10函数值特点x(0,1)时，y ；x1，)时，y x(0,1)时，y ；x1，)时，y对称性函数 ylogax 与 y的图像关于对称；函数 ylogax 与 yax 的图像关于直线 yx 对称.(0，)(1,0)(，0)0，)(0，)(，0 x轴知识点二 不同底的对数函数图像相对位置思考并完成以下问题结合教材 P94 例 5，你认为应怎样比较两个对数式的大小？提示：第一步：考查相关函数的单调性；第二步：比较真数的大小；第三步：得出结论知识梳理 不同底的对数函数图像相对位置一般地，对于底数 a1 的对数函数，在(1，)区间内，底数越大越靠近
3、x 轴；对于底数 0a1 的对数函数，在(1，)区间内，底数越小越靠近 x 轴知识点三 ylogaf(x)型函数的单调区间知识梳理 一般地，形如函数 ylogaf(x)的单调区间的求法：(1)先求 f(x)0 的解集(也就是函数的定义域)；(2)当底数 a1 时，f(x)的单调增区间是 y 的单调增区间，f(x)的单调减区间是 y 的单调减区间；(3)当底数 0a1 时，f(x)的单调区间与 y 的单调区间正好相反思考：1.结合对数函数的图像说明对数函数的单调性与什么量有关？提示：对数函数的单调性与解析式中的底数 a 有关，若 a1，则对数函数是增函数，若 0a1，则对数函数是减函数2将不同底
4、数的对数函数的图像画在同一平面直角坐标系中，若沿直线 y1 自左向右观察能得到什么结论？提示：将不同底数的对数函数的图像画在同一个平面直角坐标系中，沿直线 y1 自左向右看对数函数的底数逐渐增大自我检测1若函数 ylogax 的图像如图所示，则 a 的值可以是()A0.5 B2Ce D解析：函数 ylogax 在(0，)上单调递减，0a1，只有选项 A 符合题意答案：A2函数 yloga(x2)1(a0，且 a1)的图像过定点()A(1,2)B(2,1)C(2,1)D(1,1)解析：令 x21，得 x1，y1.答案：D3函数 f(x)lg x2的单调递减区间是_解析：函数 f(x)lg x2
5、的定义域为(，0)(0，)f(x)lg x 在(0，)上为增函数，yx2 在0，)上为增函数，在(，0)上为减函数，f(x)lg x2 的单调递减区间为(，0)答案：(，0)探究一 对数值的大小比较例 1 比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga3.141(a0，且 a1)思路点拨(1)构造函数 f(x)log3x，利用其单调性比较大小；(2)分别比较两个对数与 0 的大小；(3)分类讨论底数 a 的取值范围解析(1)(单调性法)因为 f(x)log3x 在(0，)上是增函数，且 1.92，则 f(1.9)f(2)
6、，所以 log31.9log32.(2)(中间量法)因为 log23log210，log0.32log0.310，所以 log23log0.32.(3)(分类讨论法)当 a1 时，函数 ylogax 在定义域上是增函数，则有 logaloga3.141；当 0a1 时，函数 ylogax 在定义域上是减函数，则有 logaloga3.141.综上所述，当 a1 时，logaloga3.141；当 0a1 时，logaloga3.141.方法技巧 比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性
7、的影响，对底数进行分类讨论(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用对数函数图像在第一象限顺时针方向底数增大的规律画出函数的图像，再进行比较(4)若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较跟踪探究 1.比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2；(2)loga3.1，loga5.2(a0，且 a1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3，log3.解析：(1)因为函数 yln x 在定义域上是增函数，且 0.32，所以 ln 0.3ln 2.(2)当 a1 时，函数 ylogax 在(0，)上是增函数，又 3.15
8、.2，所以 loga3.1loga5.2；当 0a1 时，函数 ylogax 在(0，)上是减函数，又 3.15.2，所以 loga3.1loga5.2.(3)法一：因为 0log0.23log0.24，所以1log0.231log0.24，所以 log30.2log40.2.法二：画出 ylog3x 与 ylog4x 的图像，如图所示，由图可知 log40.2log30.2.(4)因为函数 ylog3x 是增函数，且 3，所以 log3log331.同理，1loglog3，所以 log3log3.探究二 对数型函数的单调性例 2 讨论函数 ylog0.3(32x)的单调性 解析 由 32x0
9、，解得 x32.设 t32x，x，32.函数 ylog0.3t 是减函数，且函数 t32x 是减函数，函数 ylog0.3(32x)在，32 上是增函数方法技巧(1)求形如 ylogaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由 f(x)0，求定义域(2)对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则跟踪探究 2.求函数 ylog2(x25x6)的单调区间解析：由 yx25x6 的图像可知，函数 ylog2(x25x6)的定义域为(，2)(3，)，令 ux25x6，可知 ux25x6 在(，2)上是减函数，在(3，)上是增函数，而 ylog2u 在(0，)上为增函数，故原函数的单调
10、增区间为(3，)，单调递减区间为(，2)探究三 对数函数图像问题例 3(1)如图是对数函数 ylogax 的图像，已知 a 值取 3，43，35，110，则图像 C1，C2，C3，C4 相应的 a 值依次是()A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35解析 作直线 y1 如图所示，显然该直线与 C1，C2，C3，C4 均相交，设相应交点的横坐标分别为 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4.又 logaa1，所以 x1，x2，x3，x4 的值即为 C1，C2，C3，C4 相应函数对应 a 的值又 34335 110，故图像 C
11、1，C2，C3，C4相应 a 的值为 3，43，35，110.答案 A(2)已知 f(x)loga|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图像解析 因为 f(5)1，所以 loga51，即 a5，故 f(x)log5|x|log5x，x0，log5x，x0.所以函数 ylog5|x|的图像如图所示延伸探究 1.(改变问法)例 3(2)条件不变，试写出函数 f(x)loga|x|的值域及单调区间解析：由例 3(2)的图像知 f(x)的值域为 R，递增区间为(0，)，递减区间为(，0)2(变换条件)若把例 3(2)中的函数改为 ylog5|x1|，请画出它的图像解析：利用图像变换来解题，画
12、出函数 ylog5|x|的图像，将函数 ylog5|x|的图像向左平移 1 个单位，即可得函数 ylog5|x1|的图像，如图所示3(变换条件)若把例 3(2)中的函数改为 ylogb(x1)(b0 且 b1)，试求该函数恒过的定点解析：令 x11，得 x2，又 ylogb10，故该函数恒过点(2,0)方法技巧 1.根据对数函数图像判断底数大小的方法作直线 y1 与所给图像相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小2对数型函数图像恒过定点问题解决此类问题的根据是对任意的 a0 且 a1，都有 loga10.例如，解答函数 ym
13、logaf(x)(a0 且 a1)的图像恒过定点问题时，只需令 f(x)1 求出 x，即得定点(x，m)跟踪探究 3.画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：解析：(1)函数 ylog3(x2)的图像如图.其定义域为(2，)，值域为 R，在区间(2，)上是增函数 图 图其定义域为(0，)，值域为0，)，在(0,1上是减函数，在(1，)上是增函数.课后小结1与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响2yax 与 xlogay 图像是相同的，只是为了适应习惯用 x 表示自变量，y 表示因变量，把 xlogay 换成 ylogax，ylogax
14、 才与 yax关于 yx 对称，因为(a，b)与(b，a)关于 yx 对称3比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1 或 0 等)来比较素养培优忽略函数定义域致误易错案例：指出函数 yloga(x22x15)的单调区间易错分析：讨论复合函数 ylogaf(x)的单调区间时首先考虑函数定义域即有 f(x)0，否则会造成错解，考查分类讨论、数形结合的学科素养自我纠正：由函数 yx22x15 的图像可知，函数 yloga(x22x15)的定义域为(3,5)，令 ux22x15，可知 ux22x15 在(3,1)上是增函数，在(1,5)上是减函数，故当 a1 时，原函数的递增区间为(3,1)，递减区间为(1,5)，当 0a1 时，原函数的递增区间是(1,5)，递减区间是(3,1).04 课时 跟踪训练