1、正弦定理层级(一)“四基”落实练1在ABC中，a5，b3，则sin Asin B的值是 ()A. B. C. D.解析：选A根据正弦定理得.故选A.2在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选B由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形3(多选)在ABC中，若a2，b2，A30，则B()A30 B60 C120 D150解析：选BC由正弦定理可知，sin B，0B180，ba，B60或120.4在ABC中，已知A，a，b1，则c的值为 ()A1 B2 C.1 D.解析：选B由正弦定理，可得，sin B，由ab，
2、得AB，B，B.故C，由勾股定理得c2.5若ABC的三个内角满足6sin A4sin B3sin C，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D以上都有可能解析：选C由题意，利用正弦定理可得6a4b3c，则可设a2k，b3k，c4k，k0，则cos C0，所以C是钝角，所以ABC是钝角三角形，故选C.6在ABC中，若BC，sin C2sin A，则AB_.解析：由正弦定理，得ABBC2BC2.答案：27在ABC中，A，b4，a2，则B_，ABC的面积等于_解析：在ABC中，由正弦定理得sin B1. 又B为三角形的内角，B，c 2，SABC222.答案：28ABC的内角A，B，C
3、的对边分别为a，b，c，已知AC90，acb，求C.解：由正弦定理可得sin Asin Csin B，又由于AC90，B180(AC)，故cos Csin Csin(AC)sin(902C)cos 2C，即cos Csin Ccos 2C，cos(45C)cos 2C.因为0Cb，C60或120.当C60时，A105，a1；当C120时，A45，a2.综上，可得a1或2.2(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_.解析：bsin Aacos B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.答案：3在ABC
4、中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.解析：由正弦定理，得sin Bsin A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得74c24ccos 60，即c22c30，解得c3或c1(舍去)答案：34在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcos Accos Aacos C.(1)求角A的大小；(2)若a，bc4，求bc的值解：(1)根据正弦定理及2bcos Accos Aacos C，得2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sinBsin B0，cos A.0A，A.(2)根据余弦定理得7a2b2
5、c22bccos (bc)23bc.bc4，bc3.5(2020北京高考)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.解：选条件：c7，cos A，且ab11.(1)由余弦定理a2b2c22bccos A，b11a，c7，得a2(11a)2492(11a)7，a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.由正弦定理，得sin C.由(1)知b11a3，SABCabsin C836.选条件：cos A，cos B，且ab11.(1)cos A，A，sin A.cos B，
6、B，sin B.由正弦定理，得，a6.(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.ab11，a6，b5.SABCabsin C65.层级(三)素养培优练1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆 代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为_m2.解析：由题图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为45，设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得，解得a8sin，所以等腰三角形的面积S2sin 4
7、53216(1)(m2)，则每块八卦田的面积为16(1)221616(m2)答案：16162在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，由题意知，所以sinADB.由题意知，ADB90，所以cosADB.(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.3现给出三个条件：a2；B；cb.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定ABC，并以此为依据，求ABC的面积在ABC中，a，b，c分别是内角
8、A，B，C的对边，_，_，且满足(2bc)cos Aacos C，求ABC的面积解：方案一，选.因为(2bc)cos Aacos C，所以由正弦定理可得，2sin Bcos A(sin Ccos Asin Acos C)sin B，因为sin B0，所以cos A，A.因为a2，B，所以由正弦定理可得，所以b2，又CAB，所以SABCabsin C22sin21.方案二，选.因为(2bc)cos Aacos C，所以由正弦定理可得，2sin Bcos A(sin Ccos Asin Acos C)sin B，因为sin B0，所以cos A，A.又a2，cb，所以由余弦定理可得，解得b2，c2，故SABCbcsin A22.附注，不能选.因为(2bc)cos Aacos C，所以由正弦定理可得，2sin Bcos A(sin Ccos Asin Acos C)sin B，因为sin B0，所以cos A，A.因为B，cb，所以CAB，此时，不符合题意