1、上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编圆锥曲线一、填空题1、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 2、（崇明县2016届高三上学期期末）在ABC中，AN4，BC，CBA ，.若双曲线以 AB 为实轴，且过点C，则的焦距为3、（奉贤区2016届高三上学期期末）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则_4、（虹口区2016届高三上学期期末）如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C的焦距为4，为等边三角形（为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为_.5、（黄浦区2
2、016届高三上学期期末）已知，若曲线与曲线无交点，则 6、（金山区2016届高三上学期期末）以椭圆的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 7、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线的准线方程是，则 .8、（闵行区2016届高三上学期期末）点、均在椭圆上运动，是椭圆的左、右焦点，则的最大值为 .9、（普陀区2016届高三上学期期末）设是双曲线上的动点，若到两条渐近线的距离分别为，则_.10、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与抛物线的一个交点为若，则 11、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过
3、焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若AB中点的横坐标为3，则抛物线的方程为_.填空题参考答案：1、2、83、4、5、6、y2=12x7、18、9、10、11、12、13、14、15、16、17、二、选择题1、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则等于（ ）A B C D2、（青浦区2016届高三上学期期末）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线一、三象限的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（ ）.（A） （B） （C） （D） 3、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，则此
4、双曲线的渐近线方程为 选择题参考答案：1、A2、D3、A三、解答题1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；（2）求实数的取值范围；（3）求面积的最大值（为坐标原点）2、（奉贤区2016届高三上学期期末）设三个数，2，成等差数列，其中对应点的曲线方程是 (1)、求的标准方程； (2)、直线与曲线C相交于不同两点，且满足为钝角，其中为直角坐标原点，求出的取值范围3、（虹口区2016届高三上学期期末） 已知椭圆的左焦点为 短轴的两个端点分别为且为等边三角形 . (1) 求椭圆的方程；(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内
5、，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点M 作 轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程. 4、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形 （1）当为正方形时，求该正方形的面积 （2）若直线和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，当为定值时，求此时直线和的斜率及该定值 （3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式5、（嘉定区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系内，动点到
6、定点的距离与到定直线的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由6、（金山区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设点 是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为(1) 若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；(2) 若直线的斜率都存在，并记为，求证：7、（静安区2016届高三上学期期末）设P1和P2是双曲线上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O. (1)若直线P1P2和直线
7、OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=；(2)若双曲线的焦点分别为、，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为，求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积. 8、（闵行区2016届高三上学期期末） 已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合（1）求椭圆的方程；（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，设点，的面积为，求的值； （3）若直线过点（），且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值.9、（浦东新区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离。（1）设椭
8、圆上的任意一点到直线的方向距离分别为，求的取值范围。（2）设点、到直线：的方向距离分别为、，试问是否存在实数，对任意的都有成立？若存在，求出的值；不存在，说明理由。（3）已知直线：和椭圆：（），设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为、满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小。10、（普陀区2016届高三上学期期末）如图，椭圆的左、右两个焦点分别为，为椭圆的右顶点，点在椭圆上且.（1）计算的值；（2）求的面积.11、（青浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）
9、已知直线与椭圆交于两点，且椭圆上存在点满足，求的值12、（松江区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，C、D两点的坐标为, 曲线上的动点P满足又曲线上的点A、B满足（1）求曲线的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值13、（徐汇区2016届高三上学期期末）已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形（1） 若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；（2） 若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；（3） 求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积14、（杨浦区2016届高三上
10、学期期末）如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；（2） 对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；（3） 若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.解答题参考答案1、解：（1）设则, 于是= -2分 因, 所以，当时，.即 -4分（2）由题意知，可设直线的方程为. -5分由消去，得. -7分因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以,，即-8分将中点 -9分代入直线方程解
11、得由得或 -10分（3）令，即，则 -11分且到直线的距离为 -12分设的面积为，所以 -14分当且仅当时，等号成立.故面积的最大值为. -16分2、（1）、依题意： 1分 所以点对应的曲线方程是椭圆 2分 3分 4分 5分 6分（2）、联立方程组消去，得 7分 8分 9分设 得 10分方法一 可计算 11分由为钝角，则， 12分所以 13分 14分方法二或者 11分 12分所以 13分 14分3、解：（1）由题意，得 (2分) 故椭圆C的方程为 (4分)（2）设则由条件，知从而 于是由再由点M在椭圆C上，得所以 (6分)进而求得直线NH的方程: 由 (8分)进而 因此以线段NJ为直径的圆的方
12、程为： (10分) （3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线的斜率为0时，可以求得 (12分)当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为则点O到直线的距离为从而由几何意义，得由于故直线的方程为可求得它与椭圆C的交点R的坐标为于是 (15分) 当且仅当 时，上式取等号. 因为故当时，；此时直线的方程为： （也可写成 ） (18分)4、解（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和（1分）点、的坐标、为方程组的实数解，将代入椭圆方程，解得根据对称性，可得正方形的面积（4分）（2）由题设，不妨设直线的方程为（），于是直线的方程为设，于是有，又，（6分），将代入上式，得，（8分）对
13、于任意，上式为定值，必有，即，（9分）因此，直线和的斜率分别为和，此时（10分）（3）设与圆相切的切点坐标为，于是切线的方程为 点、的坐标、为方程组的实数解 当或时，均为正方形，椭圆均过点，于是有（11分） 当且时，将代入，整理得，于是，（13分）同理可得（15分）因为为菱形，所以，得，即，（16分）于是，整理得，由，得，即（18分）综上，满足的关系式为5、（1）设，由题意， （2分）化简得， （3分）所以，动点的轨迹的方程为 （4分）（2）设，则， （2分）当，即时，当时，取最小值，解得，此时，故舍去 （4分）当，即时，当时，取最小值，解得，或（舍） （6分）综上，（3）解法一：设，则由，得
14、，（1分），因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）当时，则四边形为矩形，则，由，得，解得， （3分）当时，直线的方向向量为，直线的方程为，原点到直线的距离为所以，的面积， 根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法二：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）直线的方程为，点到直线的距离，的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以， ，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法三：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边
15、形的面积，（4分）所以，所以，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）6、解：(1)由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形OPRQ为正方形，故，即 3分又在椭圆C上，所以5分由及在第一象限，解得,7分(2)证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，8分所以，化简得同理有10分所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根，所以，11分又因为在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=014分7、(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为，代入双曲线方程得：. 设 P1坐标为，P2坐标为，中点坐标为M (x,y),则， ，所以，k1k2=。另解：设P1(
16、x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则 且（1）-（2）得：。因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)0，等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：即k1k2=。6分（2）由已知得,求得双曲线方程为， 直线P1 P2斜率为， 直线P1 P2方程为, 代入双曲线方程可解得 (中点M坐标为. 面积. 另解: 线段P1 P2中点M在直线上.所以由中点M(x,y),可得点P2的坐标为,代入双曲线方程可得,即，解得（），所以。面积.8、解（1）设椭圆的方程为，由题设得，2分，椭圆的方程是 4分（2）设直线，由得 与抛物线有两个交点，则 6分到的距
17、离，又, ，故 10分（3），点关于轴的对称点为，则直线，设得直线，设得14分，又，16分9、解答：（1）由点在椭圆上，所以由题意、，于是2分又得，即4分（也可以先求出，再利用基本不等式易得）（2）假设存在实数，满足题设，由题意，于是6分对任意的都成立只要即可，所以故存在实数，对任意的都有成立。9分（学生通过联想，判断直线是椭圆的切线，又证明从而得到也给分）（3）设的坐标分别为、，于是、于是又，即12分所以综上14分10、11、解：（1）因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，即 又椭圆的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为,且 又以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切即,所以椭圆的方程是（2）
18、设， 又， 即在椭圆上,即 12、解（1）由，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆， 1分设其方程为，则有，曲线E的方程为 3分 （2）设直线OA的方程为，则直线OB的方程为由 得，解得.4分同理，由则 解得. 5分由 知，即 6分解得，因点A在第一象限，故， 7分此时点A的坐标为 8分（3）设，当直线AB平行于坐标轴时，由知A、B两点之一为与椭圆的交点，由解得 此时原点到直线AB的距离为10分当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程， 由 得 12分由 得即 因 14分代入得 即15分 原点到直线AB的距离 16分13、解：（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角
19、中，圆心到直线的距离为，同理，-4分（2）由题知，直线关于原点对称，因为圆的圆心为原点，所以，故四边形为平行四边形.易知，点在对角线上.联立解得，由得，所以，于是，因为，所以四边形为正方形.-9分（3） 证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为.当直线的斜率不存在时，设直线、的方程为，因为在椭圆上，所以，由四边形为正方形，易知，直线、的方程为，正方形的面积.-12分当直线的斜率存在时，设直线、的方程分别为，显然.设，联立得，所以代人，得，同理可得，因为为正方形，所以解得因为，所以，因此，直线与直线关于原点对称，所以原点为正方形的中心（由知，四边形为平行四边形）由为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形为菱形）由为正方形知，因为直线与直线的距离为，故但，由得即，与矛盾.所以，这与矛盾.即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形.综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为.-18分14、（1）， （2分） ，； （2分）（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点 由，得 （2分） 存在且，且 ，即 （2分） 同理， 得证 （2分）（3）设直线的方程为 ， ， （2分）， ， （1分）两平行线间距离： （1分） （1分）的面积最大值为 （1分）注：若用第一小题结论，算得： 的面积最大值为 得3分