1、2015-2016学年山东省聊城一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1设复数z满足z（1+i）=2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知A是数集，则“A0，1=0”是“A=0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若非零向量，满足|=|，（2+）=0，则与的夹角为( )A30B60C120D1504已知f（x）=sinxx，命题P：x（0，），f（x）0，则( )AP是假命题，BP是假命题，CP是
2、真命题，DP是真命题，5已知函数f（x）=kaxax（a0且a1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（xk）的大致图象是( )ABCD6设是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cos=x，则tan2=( )ABCD7已知等比数列an的公比q0且q1，又a60，则( )Aa5+a7a4+a8Ba5+a7a4+a8Ca5+a7=a4+a8D|a5+a7|a4+a8|8函数f（x）=sin（x+）（0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向心平移个单位9已知点M（a，b）在由不等式组确定的平面区
3、域内，则点N（a+b，ab）所在平面区域的面积是( )A1B2C4D810已知函数f（x）=ex（x0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )A（，）B（，）C（，）D（，）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11已知等差数列an的首项a1=1，前五项之和S5=25，则an的通项an=_12已知f（x）=|log3x|，若f（a）=f（b）且ab则的取值范围是_13曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为_14已知平面向量=（2，m），=（1，），且（），则实数m的值为_15设定义域为0，1的函数f（x）同时满足以下三个
4、条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x0，1，总有f（x）0； （2）f（1）=1；（3）若x10，x20且x1+x21，则有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的序号有_f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；函数g（x）=x在区间0，1上是“友谊函数”；若f（x）为“友谊函数”，且0x1x21，则f（x1）f（x2）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x9xa对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围17设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an
5、+1=2Sn+1，数列bn满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设，求数列cn的前n项和Tn18已知函数f（x）=（2cosx+sinx）sinxsin2（+x）（0），且函数y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为（）求的值和函数f（x）的单调递增区间；（） 求函数f（x）在区间上的值域19在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（）求的值；（）若b=2，求ABC面积的最大值20（13分）数列an中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1an（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn=|a1
6、|+|a2|+|an|，求Sn（3）设bn=（nN+），数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN+，都有Tn21（14分）设函数f（x）=ax2lnx（aR）（）若f（x）在点（e，f（e）处的切线为xey2e=0，求a的值；（）求f（x）的单调区间；（）当x0时，求证：f（x）ax+ex02015-2016学年山东省聊城一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1设复数z满足z（1+i）=2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】
7、复数的代数表示法及其几何意义 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用分的代数形式的混合运算求出复数z，得到复数的对应点，判断所在象限即可【解答】解：复数z满足z（1+i）=2i+1（i为虚数单位），z=+i复数对应点（，）在第一象限，故选：A【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查2已知A是数集，则“A0，1=0”是“A=0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】已知A是数集，“A0，1=0”说明集合A中必有0元素，不含有1元素，利用子集的性质进行求解；【解答】解：
8、若“A=0”，可得“A0，1=00，1=0”，若“A0，1=0”，可得集合A中，0A，1A，可以取A=1，0也满足题意，“A=0”“A0，1=0”“A0，1=0”是“A=0”的必要不充分条件，故选B；【点评】此题主要考查充分必要条件的定义以及子集的性质，是一道基础题；3若非零向量，满足|=|，（2+）=0，则与的夹角为( )A30B60C120D150【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题【分析】由题意，可先由条件|，（2+）=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件|=|，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项【解答】解：由题意（2+）=02+=0，即2|cos
9、，+=0又|=|cos，=，又0，则与的夹角为120故选C【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值4已知f（x）=sinxx，命题P：x（0，），f（x）0，则( )AP是假命题，BP是假命题，CP是真命题，DP是真命题，【考点】全称命题 【专题】简易逻辑【分析】先判断命题P的真假性，再写出该命题的否定命题即可【解答】解：f（x）=sinxx，f（x）=cosx10f（x）是定义域上的减函数，f（x）f（0）=0命题P：x（0，），f（x）0，是真命题；该命题的否定是故选：D【点评】本题考查了命
10、题真假的判断问题，也考查了命题与命题的否定之间的关系，是基础题5已知函数f（x）=kaxax（a0且a1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（xk）的大致图象是( )ABCD【考点】函数的图象；奇偶性与单调性的综合 【专题】数形结合；函数的性质及应用【分析】本题考查的知识点是奇偶性的应用，求出k=1，关键单调性求出a的范围，利用对数函数y=logax左右平移即可【解答】解：因为f（x）=kaxax为奇函数，所以f（x）=f（x），即kaxax=（kaxax），得（k1）（ax+ax）=0所以k=1，又f（x）=axax是增函数，所以a1将y=logax向右平移一个的单位即得g
11、（x）=loga（x1）的图象故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，要求熟练掌握函数奇偶性的性质，以及对数函数的图象和性质6设是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cos=x，则tan2=( )ABCD【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义 【专题】三角函数的求值【分析】由三角函数的定义可得x的方程，解方程可得cos，再由同角三角函数的基本关系可得tan，由二倍角的正切公式可得【解答】解：由三角函数的定义可得cos=，又cos=x，=x，又是第二象限角，x0，故可解得x=3cos=，sin=，tan=tan2=故选：A【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及三角函数的定
12、义和同角三角函数的基本关系，属基础题7已知等比数列an的公比q0且q1，又a60，则( )Aa5+a7a4+a8Ba5+a7a4+a8Ca5+a7=a4+a8D|a5+a7|a4+a8|【考点】等比数列的性质 【专题】计算题【分析】等比数列an的公比q0且q1，又a60，知此等比数列是一个负项数列，各项皆为负，观察四个选项，比较的是a5+a7，a4+a8两组和的大小，可用作差法进行探究，比较大小【解答】解：a60，q0a5，a7，a8，a4都是负数a5+a7a4a8=a4（q1）+a7（1q）=（q1）（a4a7）若0q1，则q10，a4a70，则有a5+a7a4a80若q1，则q10，a4a
13、70，则有a5+a7a4a80a5+a7a4+a8故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题8函数f（x）=sin（x+）（0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向心平移个单位【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】函数f（x）=sin（x+）（0）的图象可知其周期T，从而可求得，继而可求得，利用三角函数的图象变换及可求得答案【解答】解：依题意，f（x）=sin（x+）（0）的周期T=2（）=，=2，又2+=，=f（x）=sin（2x+）=cos（
14、2x+）=cos（2x）=cos（2x）；f（x+）=cos2（x+）=cos（2x+）；为了得到函数y=cos（2x+）的图 象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位故选C【点评】本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，求得与是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题9已知点M（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N（a+b，ab）所在平面区域的面积是( )A1B2C4D8【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 【专题】压轴题【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积【解答】解：令s=x+y，t=xy，则P（x+y，x
15、y）为P（s，t） 由s=x+y，t=xy可得 2x=s+t，2y=st因为x，y是正数，且x+y2有 在直角坐标系上画出P（s，t） s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为4故选C【点评】求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题10已知函数f（x）=ex（x0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴对称的点，就是f（x）=g（x）有解，也就是函数y=f（x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内
16、画函数y=f（x）=（x0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象，结合图象解题【解答】解：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴有对称的点，就是f（x）=g（x）有解，也就是函数y=f（x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（x）=（x0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象：函数y=g（x）=ln（x+a）的图象是把由函数y=lnx的图象向左平移且平移到过点（0，）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，）代入y=ln（x+a）得，=lna，a=，a，故选：B【点评】本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想二、填空题（本
17、大题共5小题，每小题5分，共25分）.11已知等差数列an的首项a1=1，前五项之和S5=25，则an的通项an=2n1【考点】等差数列的通项公式 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，首项a1=1，前五项之和S5=25，5+d=25，解得d=2则an的通项an=1+2（n1）=2n1故答案为：2n1【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知f（x）=|log3x|，若f（a）=f（b）且ab则的取值范围是2，+）【考点】对数函数的图像与性
18、质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意，先求函数f（x）的定义域，再由f（a）=f（b）可得|log3a|=|log3b|，由对数的运算性质分析可得ab=1，又由a、b0且ab，结合基本不等式的性质，可得=b+2，即可得答案【解答】解：根据题意，对于f（x）=|log3x|，有x0，若f（a）=f（b），则|log3a|=|log3b|，又由ab，则有log3a=log3b，即log3a+log3b=log3ab=0，则ab=1，又由a、b0且ab，=b+2，当且仅当b=取等号，即的取值范围是2，+）；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意ab的条件属于基础题13曲线xy=1与
19、直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为4ln3【考点】定积分在求面积中的应用 【专题】导数的综合应用【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3）dx+=（3xlnx）|2=311n3+2=4ln3故答案为：4ln3【点评】本题主要考查定积分求曲边梯形的面积用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基础题14已知平面向量=（2，m），=（1，），且（），则
20、实数m的值为【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，结合（），列式求得m的值【解答】解：=（2，m），=（1，），=（3，m），又（），1（3）+（m）=0，解得：m=2故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标表示，是基础的计算题15设定义域为0，1的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x0，1，总有f（x）0； （2）f（1）=1；（3）若x10，x20且x1+x21，则有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的序号有f（x）为“友谊
21、函数”，则f（0）=0；函数g（x）=x在区间0，1上是“友谊函数”；若f（x）为“友谊函数”，且0x1x21，则f（x1）f（x2）【考点】命题的真假判断与应用 【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑【分析】直接取x1=x2=0，利用f（x1+x2）f（x1）+f（x2）可得：f（0）0，再结合已知条件f（0）0即可求得f（0）=0；按照“友谊函数”的定义进行验证；由0x1x21，则0x2x11，故有f（x2）=f（x2x1+x1）f（x2x1）+f（x1）f（x1），即得结论成立【解答】解：f（x）为“友谊函数”，则取x1=x2=0，得f（0）f（0）+f（0），即f（0）0，又由
22、f（0）0，得f（0）=0，故正确；g（x）=x在0，1上满足：（1）g（x）0；（2）g（1）=1，若x10，x20，且x1+x21，则有g（x1+x2）g（x1）+g（x2）=（x1+x2）（x1+x2）=0，即g（x1+x2）g（x1）+g（x2），满足（3）故g（x）=x满足条件（1）（2）（3），g（x）=x为友谊函数故正确；0x1x21，0x2x11，f（x2）=f（x2x1+x1）f（x2x1）+f（x1）f（x1），故有f（x1）f（x2）故正确故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的
23、基础上再做题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x9xa对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】规律型【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假确定实数k的取值范围【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2x+对于一切xR恒成立，若a=0，则不等式等价为x0，解得x0，不满足恒成立若a0，则满足条件，即，解得，即a2，所以p：a2g（x）=3x9x=（），要使3x9xa对一切的实数x恒成立，则a，即q：a要使p且q为假，
24、则p，q至少有一个为假命题当p，q都为真命题时，满足，即a2，p，q至少有一个为假命题时有a2，即实数a的取值范围是a2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧17设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列bn满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设，求数列cn的前n项和Tn【考点】等差数列的通项公式；等比数列；数列的求和 【专题】计算题【分析】（1）要求数列an，bn的通项公式，先要根据已
25、知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列an为等比数列，而由数列bn满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，nN*，易得数列bn是一个等差数列求出对应的基本量，代入即可求出数列an，bn的通项公式（2）由（1）中结论，我们易得，即数列cn的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn1+1（n2），两式相减得an+1an=2an，an+1=3an（n2）又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1故an是首项为1，公比为3的等
26、比数列所以an=3n1由点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，所以bn+1bn=2则数列bn是首项为1，公差为2的等差数列则bn=1+（n1）2=2n1（）因为，所以则，两式相减得：所以=【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算18已知函数f（x）=（2cosx+sinx）sinxsin2（+x）（0），且函数y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为（）求的值和函数f（x）的单调递增区间；（） 求函数f（x）在区间上的值域【考点】两角和与差的正弦函数；
27、正弦函数的单调性；三角函数的最值 【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（）由条件利用三家恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求的值和函数f（x）的单调递增区间（） 由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间上的值域【解答】解：（）=由函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，知=，即=1，所以令，解得：kxk+，所以函数f（x）的单调递增区间为，kZ（）因为，所以所以，所以1f（x）2，所以函数f（x）的值域为1，2【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域
28、，属于中档题19在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（）求的值；（）若b=2，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理 【专题】计算题【分析】（）由余弦定理和题设条件求得cosB的值，进而利用诱导公式和二倍角公式对化简整理，最后把cosB的值代入即可求得答案（）利用（）中cosB的值，可求得sinB的值，进而通过利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式，求得三角形面积最大值【解答】解：（）由余弦定理：=（）由cosB=，得sinB=b=2，从而故（当且仅当a=c时取等号）【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的化简求值考查了学生分析推理和
29、基本运算的能力20（13分）数列an中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1an（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+|an|，求Sn（3）设bn=（nN+），数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN+，都有Tn【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出；（2）对an0，an0，讨论，再利用等差数列的前n项和公式即可；（3）利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出【解答】解：（1）数列an满足an+2=2an+1an（nN+），数列an是等差数列，公差为
30、da1=8，a4=2，2=8+3d，解得d=2an=82（n1）=102n（2）设数列an的前n项和为An，则An=n（9n）令an0，解出n5当n5时，Sn=An=n（9n），当n6时，Sn=A5a6a6an=2A5An=25（95）n（9n）=n29n+40Sn=（3）证明：bn=，数列bn的前n项和Tn=+=对于任意的nN+，都有Tn【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（14分）设函数f（x）=ax2lnx（aR）（）若f（x）在点（e，f（e）处的切线为xey2e=0，求a的值；（）求f（x）的单调区
31、间；（）当x0时，求证：f（x）ax+ex0【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（）求出函数f（x）的导数并求出切点，运用点斜式方程写出切线方程并化为一般式，对照条件求出a；（）求出导数f（x），对a讨论，分a0，a0，分别求出单调区间，注意定义域：（0，+）；（）运用分析法证明：f（x）ax+ex0首先化简左边并构造函数：g（x）=exlnx2（x0），只需要证明g（x）0，通过导数g（x）的单调性，运用零点存在定理证明g（x）在（0，+）上有唯一零点，设为t，由导函数g（x）的单调性，得到g（x）在
32、（0，t）上小于0，在（t，+）上大于0，从而得到g（x）在x0上的单调性，从而得出g（x）的极小值也是最小值g（t），证明g（t）不小于0，由t1得g（t）0，从而原不等式成立【解答】解：（）f（x）=ax2lnx（x0），f（x）=a=，又f（x）在点（e，f（e）处的切线为xey2e=0，f（e）=a=，故a=；（）由（）知，f（x）=a=（x0），当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）上是单调减函数，当a0时，令f（x）=0，则x=，令f（x）0，则0x，f（x）0，则x，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，综上可得：当a0时，f（x）的单调减区
33、间为（0，+），当a0时，f（x）的单调减区间为（0，），f（x）的单调增区间为（，+）；（）当x0时，要证f（x）ax+ex0，即证exlnx20，令g（x）=exlnx2（x0），只需证g（x）0，g（x）=ex，由指数函数和幂函数的单调性知，g（x）在（0，+）上递增，又g（1）=e10，g（）=30，g（1）g（）0，g（x）在（，1）内存在唯一的零点，则g（x）在（0，+）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=et=0，即et=（t1），由g（x）的单调性知：当x（0，t）时，g（x）g（t）=0，当x（t，+）时，g（x）g（t）=0，g（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+）上为增函数，当x0时，g（x）g（t）=etlnt2=ln2=+t222=0，又t1，等号不成立，g（x）0，当x0时，f（x）ax+ex0【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求曲线上某一点处的切线方程，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，考查构造函数和分类讨论的数学思想方法，运用分析法证明不等式的重要方法，是一道综合题
