1、集宁一中西校区2019一2020学年第一学期期中考试高二年级理科数学试题一、选择题1.等差数列的前项和，若，则( )A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.2.在等比数列中，若，则公比等于（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】解方程组即得q的值.详解】由题得，所以，因为，所以.故选C【点睛】本题主要考查等比数列的通项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3.等差数列的前11项和，则A. 8B. 16C. 24D. 32【答案】B【解析】等差数列的前11项和，根据等差数列性
2、质：，故选B.4.在中，则等于()A. 30或150B. 60C. 60或120D. 30【答案】C【解析】【分析】直接使用正弦定理，即可求得结果.【详解】根据正弦定理，可得，解得，故可得为60或120；又，则，显然两个结果都满足题意.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的直接使用，属基础题.5.在中，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出cosB的值，即得B的值.【详解】由余弦定理得,因为,所以.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成
3、等比数列，则an前6项的和为( )A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，由此解得的值，进而求得数列的前项和.【详解】设等差数列an的公差为d，依题意得，即(12d)2(1d)(15d)，解得d2或d0(舍去)，又a11，S661(2)24.故选：A【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.7.如表定义函数：1234554321对于数列，则的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据已知中,可得以为周期呈周期性变化,进而得到答案.【详解】数列，,故以周期呈周期性变
4、化, 则.故选:.【点睛】本题考查数列的函数特性,难度容易.8.在中，若，那么是（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由tanAtanB1可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，可得tan（A+B）1，可得A，B都是锐角，故tanA和tanB都是正数，tan（A+B）0，故A+B为钝角由三角形内角和为180可得，C为锐角，故ABC是锐角三角形，故选C【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断A+B为钝角，是解题的关键9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的最大值为1B. 的最小正周期
5、为C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于点对称【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可【详解】函数= sin（2x）+1对于A：根据f（x）sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；对于B：f（x）sin（2x）+1，T则B不对；对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对故选C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键10.已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质
6、可知，解得，又，从而得解.【详解】由数列为等差数列，可知.所以，有.所以.故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.11.设数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由并项求和结合等比数列求和即可得解【详解】由题 故选D【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题12.已知数列的通项公式为，其前项和为,则（ ）A. -30B. -60C. 90D. 120【答案】D【解析】【分析】根据三角函数周期每四个一组，和皆为8，则根据15组的和得.【详解】因为,所以选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，即通过四个一组进行重新组合，将原
7、数列转化为一个常数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）二、填空题13.已知等差数列的前项和为，且，则_.【答案】4【解析】【分析】由与的关系可求得与，进而得到公差，由前项和公式及可求得，再由通项公式及可得值【详解】，所以公差，,得，所以，解得.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列的性质, 等差数列的前n项和, 考查与的关系,难度较易.14.已知正项数列满足，若，则数列的通项公式_.【答案】【解析】【分析】正项数列正项数列满足，因式分解为,可得,利用等比数列的定义及通项公式即可得出详解】正项数列正项数列满足,，数列是等比数列,首项为,公比为.数列的通项公式为.故答案为
8、:.【点睛】本题考查等比数列的通项公式,数列递推式,难度较易.15.已知为等差数列的前项和，且，给出下列说法：为的最大值；.其中正确的是_.【答案】【解析】【分析】,利用前项和公式得,可得，最大, 即可判断出正确命题【详解】,化为：最大, 为的最大值,正确; 正确;,所以不正确;,所以不正确.综上可得：正确.故答案: .【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n项和公式,难度一般.16.已知等比数列满足，且成等差数列，则 的最大值为_【答案】1024【解析】【分析】根据已知条件可求得数列的通项，令，由其递推式得出，可得出当或5时，的值最大，可得答案.【详解】设等比数列的公比为，根据等
9、比数列的性质和已知条件可得，由于，可得.因为成等差数列，所以，可得，由可得，由可得，从而，(也可直接由得出)，令，则，令，可得，故，所以当或5时，的值最大，为,故答案为：1024.【点睛】本题考查等比数列的基本量和通项的求解，数列的增减性，以及数列的各项积的最大值，解决的关键在于得出数列的各项的积的数列的单调性，这种方法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.三、解答题17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用展开代入求解即可；（2）由，变形化简可得解.【详解】（1）（2）由，可得，即.【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，牢记公式是解题的关键，属于基
10、础题.18.已知等差数列的前项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出的首项和公差，即可求出数列的通项公式.（2）将（1）中求得的代入，利用等差数列和等比数列求和公式即可求出.【详解】（1）因为为等差数列， 所以（2）【点晴】本题考查的是数列中的求通项和数列求和问题.第一问中关键是根据，列出关于的式子求得，得到，求得通项;第二问中的通项，分成两组求和即可，一组是等差数列，一组等比数列.19.在中，内角、的对边分别为、，若已知.（1）判断的形状；（2）求的取值范围.【答案】（1）为直角三角形（2）【解析】【分析】
11、(1)由已知及正弦定理得，,化简即可得,由，,则有,即可得出结论;(2)由正弦定理及,可知,因为,利用三角函数性质,即可求得的取值范围.【详解】（1）由已知及正弦定理得，即，又，所以，故为直角三角形.（或：由已知及射影定理得，即，所以，故为直角三角形.）（2）由（1）知，又，故.（或：由（1）知，所以，且当时取最大值，故.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用,考查三角函数的性质,难度一般.20.已知数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由和的关系式，得到和的递推关系式，从而得到的通项公式；（2）根据（1）中求得的通项，求
12、出通项公式，然后分奇偶，分别求出其前项的和.【详解】（1）当时，.因为，所以，所以.因为，所以.两式相减，得，即 又因为，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.（2）由（1）可知故当为偶数时，当为奇数时，所以【点睛】本题考查通过与的关系求通项公式，分奇偶求数列的前项和，属于中档题.21.已知等差数列的公差它的前项和为，若且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）等差数列的通项公式ana1（n1）d和前n项和公式Snna1中，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，这五个量中知其中三个就能求另外两个，解题中要
13、注意方程思想的运用（2）利用，通过裂项相消法即可【详解】（1）由题意得解得（2）考点：数列通项及求和的简单应用22.已知数列为等差数列，且满足，正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】(1)由已知可解出,即可求出由，,即可求出，进而得出,即可求出.(2) 由（1）知,由，可得，即恒成立.构造，通过研究其单调性可知的最大值为,即可求出实数的取值范围.【详解】（1），又，且，得，所以.（2）由（1）知，所以，可得，即恒成立.设，当时，又，即当时，所以，故的最大值为，故.【点睛】本题考查等差数列,等比数列的通项公式,等比数列的求和公式,考查了数列中恒成立问题,难度较难.