1、课时跟踪检测（二十四） 双曲线及其标准方程1已知m，nR，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C方程1表示双曲线，必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线，所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件2已知双曲线1上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(5,0)的距离为()A7 B23C5或25 D7或23解析：选D设F1(5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：|PF1|PF2|2a8，而|PF2|15，解得|PF1|7或23.3已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(，0)，点P
2、在双曲线上，且PF1PF2，PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21 Dx21解析：选C由(|PF1|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c，所以b1，故选C.4双曲线y21(n1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积为()A B1C2 D4解析：选B不妨设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为右支上一点，|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，由解得：|PF1|，|PF2|，所以|PF1|2|PF2|24n4|F1F2|2，所以PF1PF2，又由分别平方后作差得：|PF1|PF2|2，所以SPF1F2|PF1|PF2|1
3、.5已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为()A1B1C1 D1解析：选B因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.10ABC的一边的两个顶点B(a,0)，C(a,0)(a0)，另两边的斜率之积等于m(m0)求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB，
4、kAC.由题意，得m，即1(y0)当m0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m0且m1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当1m0时，椭圆焦点在x轴上；当m1时，椭圆的焦点在y轴上；当m1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)1若椭圆1(mn0)和双曲线1(s，t0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是()Ams B(ms)Cm2s2 D解析：选A如图所示，设|PF1|x，|PF2|y，则4xy4(ms)xyms.2多选关于方程(m1)x2(3m)y2(m1)(
5、3m)，mR所表示的曲线C的形状，下列说法正确的是()Am(1,3)，曲线C为一个椭圆Bm(，1)(3，)，曲线C是双曲线CmR，曲线C一定不是直线Dm(1,3)使曲线C不是椭圆解析：选BD对于方程(m1)x2(3m)y2(m1)(3m)，当m1时，方程为2y20，即y0，表示x轴；当m3时，方程为2x20，即x0，表示y轴；当m1，且m3时，方程为1，若3mm1，即m2，则方程为x2y21，表示一个单位圆；若(3m)(m1)3或m0且3mm1，即1m3，且m2，则方程表示椭圆综上可得，当m1或m3时，方程表示直线；当m2时，方程表示圆；当1m3或m1时，方程表示双曲线结合选项可知选B、D.3
6、若F1，F2是双曲线C：x21(y0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|6，则|PF2|_，PF1F2的面积SPF1F2_. 解析：根据双曲线的定义，若|PF1|6，则|PF1|PF2|2a2|PF2|4或8，因为y0，而只有当P点落在x轴上时才会有|PF2|4，故舍掉所以|PF2|8.因为三角形PF1F2是直角三角形，故SPF1F26824.答案：8244A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，
7、A若炮击P地，求炮击的方向角解： 如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(3,0)，A(3,0)，C(5,2). 由题意知|PB|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上设敌炮阵地的坐标为(x，y)，因为kBC，BC中点D(4，)，所以直线lPD：y(x4)又|PB|PA|4，故P在以A，B为焦点的双曲线右支上则双曲线方程为1(x2)联立两式，得x8，y5，所以P的坐标为(8,5)因此kPA. 故炮击的方向角为北偏东30.5.已知双曲线的方程为x21，如图，点A的坐标为(，0)，B是圆x2(y)21上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|MB|的最小值解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|MD|2a2.所以|MA|MB|2|MB|MD|2|BD|，又B是圆x2(y)21上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|CD|11，从而|MA|MB|2|BD|1，当点M，B在线段CD上时不等式取等号，即|MA|MB|的最小值为1.