1、第八章 第5节一、选择题1抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ()Ax24yBx24yCy212x Dx212y解析由题意得c3，抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)，该抛物线的标准方程为x212y或x212y.答案D2设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4 B8C8 D16解析设P，则A(2，y)，由kAF，即，得y4，|PF|PA|28.答案83已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45，
2、则弦AB的中点坐标为()A(1,0) B(2,2)C(3,2) D(2,4)解析依题意得，抛物线C的方程是y24x，直线l的方程是yx1.由消去y得x26x10，因此线段AB的中点的横坐标是3，纵坐标是y312，所以线段AB的中点坐标是(3,2)，因此选C.答案C4(2015北京东城区期末)已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D32解析由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点A作直线AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义知，|AA|AF|，在AAK中，|AK|AA|，
3、故KAA45，所以直线AK的倾斜角为45，直线AK的方程为yx4，代入抛物线方程y216x得y216(y4)，即y216y640，解得y8.所以AFK为直角三角形，故AFK的面积为8832.答案D5(2015株洲模拟) 已知直线yx2与圆x2y24x30及抛物线y28x依次交于A，B，C，D四点，则|AB|CD|等于()A10 B12C14 D16解析由题可知直线yx2过圆心(2,0)，抛物线的焦点为(2,0)由得x212x40.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x212，x1x24，所以|AD|16，故|AB|CD|AD|214.故选C.答案C6已知抛物线Cy24x的焦点为F，准线
4、为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为 ()A(2,2) B(2，2)C(2，) D(2，2)解析如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定义，得|AF|AM|，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，3，|AF|3|OF|3，|AM|AF|3，设A13，解得y02.2，点A的坐标是(2，2)答案D二、填空题7设P是曲线y24x上的一个动点，则点P到点B(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_解析抛物线的顶点为O(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点F坐标为(1,0)，点P到点B(1,
5、1)的距离与点P到准线x1的距离之和等于|PB|PF|.如图，|PB|PF|BF|，当B、P、F三点共线时取得最小值，此时|BF|.答案8(2015武汉调研)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点的坐标为(2,2)，则直线l的方程为_解析由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y24x.显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l的方程为y2k(x2)，其中k0，联立方程得消去y得k2x24k(1k)4x4(1k)20，显然2，解得k1.故直线l的方程为yx.答案yx9设O是坐标原点，F是抛物线y22px (p0)的焦
6、点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|_.解析过A作AD垂直于x轴于点D，令|FD|m，则|FA|2m，pm2m，mp.| p.答案p三、解答题10(2015厦门模拟)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜
7、率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)11(2015淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点解(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2
8、y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明：设l：xtyb代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2.直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)12(2015福建宁德质检)已知点P(1，m)在抛物线C：y22px(p0)上，F为焦点，且|PF|3.(1)求抛物线C的方程(2)过点T(4,0)的直
9、线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点求的值；若以A为圆心，|AT|为半径的圆与y轴交于M，N两点，求MNF的面积解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F.由抛物线的定义得|PF|13，解得p4，抛物线C的方程为y28x.(2)依题意可设过点T(4,0)的直线l的方程为xty4，由可得y28ty320，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28t，y1y232，x1x2(ty14)(ty24)t2y1y24t(y1y2)1616，(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2163216.设圆A的半径为r，则r|AT|.又点A到MN的距离为dx1，|MN|228，SMNF|MN|OF|828.