1、课时跟踪检测（二十六） 抛物线及其标准方程1若抛物线x24y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n()ABC3 D4解析：选D抛物线x24y的准线方程为y1，根据抛物线定义可知5n1，即n4.2若坐标原点到抛物线ymx2的准线的距离为2，则m()A BC4 D8解析：选A抛物线ymx2的准线方程为y，由题意知2，解得m.3(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8解析：选D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为(，0)由题意得，解得p0(舍去)或p8.4已知动点P(x，y)满足5|3x4y1|，则点P的轨迹为()A直
2、线 B抛物线C双曲线 D椭圆解析：选B把5|3x4y1|化为，由于点(1,2)不在直线3x4y10上，满足抛物线的定义，则点P的轨迹为抛物线5.如图是抛物线形拱桥，当水面在AB时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，当水位上升0.5 m后，水面宽()A m B mC2 m D2 m解析：选C如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将A(2，2)代入x2my，得m2，可得抛物线方程为x22y，将B代入，得x0，故水面宽度为2 m.6已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_. 解析：根据抛物线的定义得
3、15，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：7已知F是抛物线C：y28x的焦点，是C上一点，FM的延长线交y轴于点N. 若M为FN的中点，则|FN|_. 解析：设N (0，a)，F(2,0)，则M，因为点M在抛物线上，所以8，解得a4，所以N(0，4)，故|FN|6.答案：68抛物线yx2上的动点M到两定点F(0，1)，E(1，3)的距离之和的最小值为_解析：抛物线标准方程为x24y，其焦点坐标为(0，1)，准线方程为y1，则|MF|的长度等于点M到准线y1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，3)到直线y1的距离即最小值为4.答案：49.
4、如图是抛物线型拱桥，设水面宽|AB|18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|9 m，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，8)设抛物线方程为x22py(p0)B点在抛物线上，812p(8)，p，抛物线的方程为x2y.当x时，y2，即|DE|826.|DE|不超过6 m才能使货船通过拱桥10已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)若
5、P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程解：(1)抛物线y22px(p0)的准线方程为x，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，35，所以p4，所以抛物线C的方程是y28x.(2)由(1)可知F(2,0)，设P(x0，y0)，M(x，y)，则即而点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y8x0，所以(2y)28(2x2)，即y24(x1)，所以点M的轨迹方程是y24(x1)1O为坐标原点，F为抛物线C：y22x的焦点，P(x0，y0)为C上一点，若|PF|x0，则POF的面积为()A1 BC D解析：选D由题意知，F的坐标为，因为点P(x0
6、，y0)为C上一点，|PF|x0，则x0x0，解得x01，所以P(1，)，则POF的面积为：.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A直线 B圆C椭圆 D抛物线解析：选DABCDA1B1C1D1是正方体，直线C1D1侧面BB1C1C，C1D1PC1，则|PC1|为点P到直线C1D1的距离又点P到直线C1D1的距离等于点P到直线BC的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线3.已知FAB，点F的坐标为(1,0)，点A，B分别在图中抛物线y24x及圆
7、(x1)2y24的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么FAB的周长的取值范围是()A(2,6) B(4,6)C(2,4) D(6,8)解析：选B抛物线的准线l：x1，焦点F(1,0)，由抛物线定义可得|AF|xA1，所以FAB的周长|AF|AB|BF|xA1(xBxA)23xB，由抛物线y24x及圆(x1)2y24可得交点的横坐标为1，所以xB(1,3)，所以3xB(4,6)4对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号
8、)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：5在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值求曲线C1的方程解：法一：设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以 x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二：由题设知，条件“对C1上任意一点
9、M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离”所以曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y220x.6.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF，则直线FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则直线MN的方程为yx2.解方程组得所以N.