1、 直线与平面垂直的判定层级(一)“四基”落实练1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直B相交但不垂直C平行 D不确定解析：选A因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直故选A.2正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1C B平面A1DBC平面A1B1C1D1 D平面A1DB1解析：选DAD1A1D，AD1A1B1，A1DA1B1A1，AD1平面A1DB1.故选D.3.如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120解析：选AABO即是斜线AB与平面所
2、成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.故选A.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直 线AB和B1C1都垂直的直线有()A1条 B2条C3条 D无数条解析：选A显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则lB1C1，lAB.又ABC1D1，则lC1D1.又B1C1C1D1C1，所以l平面B1C1D1.同理DD1平面B1C1D1，则lDD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件故选A.5.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是平面内异于A和B的动点，且PCAC，则ABC为()A锐角
3、三角形 B直角三角形C钝角三角形 D无法确定解析：选B易证AC平面PBC，又BC平面PBC，所以ACBC.故选B.6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为_解析：PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB.BCPB.同理得CDPD.故共有4个直角三角形答案：47在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，BCAA11，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为_解析：如图所示，连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角在RtBD1B1中，t
4、anBD1B1，则BD1B130.答案：308.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB90，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点求证：(1)CDAA1；(2)AB1平面CED.证明：(1)由题意知AA1平面ABC，CD平面ABC，所以CDAA1.(2)因为D是AB的中点，ABC为等腰直角三角形，ACB90，所以CDAB.又CDAA1，ABA1AA，AB平面A1B1BA，A1A平面A1B1BA，所以CD平面A1B1BA.因为AB1平面A1B1BA，所以CDAB1.又CEAB1，CDCEC，CD平面CED，CE平面CED，所以AB1平面CED.层级(二)能力提
5、升练1若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A有且只有一个B可能存在，也可能不存在C有无数多个D一定不存在解析：选B当l1l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个；当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在2在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则点P到BC的距离是_解析：如图所示，作PDBC于点D，连接AD.因为PA平面ABC，所以PABC.又PDPAP，所以CB平面PAD.所以ADBC.在ACD中，AC5，CD3，所以AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，所以PD4.答案：43在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运
6、动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是_解析：BD1平面B1AC，平面B1AC平面BCC1B1B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有APBD1.答案：线段B1C4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点求证：PC平面BEF.证明：如图，连接PE，EC.在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，所以PECE，即PEC是等腰三角形因为F是PC的中点，所以EFPC.因为BP 2BC，F是PC的中点，所以BFPC.又BFEFF，BF平面BEF，EF平面BEF，所以PC平面BEF.5.如图所示，在棱长为1的正方
7、体ABCD A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解：如图，连接A1B，CD1，则A1BAB1，A1D1AB1.又A1D1A1BA1，AB1平面A1BCD1.又D1E平面A1BCD1，AB1D1E.要使D1E平面AB1FD1EAF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影D1EAFDEAF.四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.层级(三)素养培优练1.(多选)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的是()AAC
8、SBBAB平面SCDCAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角DSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角解析：选ABDA项，SD平面ABCD，SDAC，四边形ABCD是正方形，ACBD，又SDDBD，AC平面SDB，ACSB；B项，四边形ABCD是正方形，ABDC，又AB平面SCD，CD平面SCD，AB平面SCD；C项，ABDC，SCD(为锐角)是AB与SC所成的角，SAB(为直角)是DC与SA所成的角，而SCDSAB，AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；D项，由A可知：AC平面SDB，ASO、CSO分别是SA与平面SBD所成的角、SC与平面SBD所成的角，由SASC，
9、OAOC，可得ASOCSO，因此正确综上可知，只有C不正确，故选A、B、D.2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF4且EFAB，EFFB.求证：(1)GH平面EAD；(2)FG平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EFAB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MGEF.因为H为EF的中点，EF4，AB2，所以EHABMG.所以四边形EMGH为平行四边形所以GHEM.又因为GH平面EAD，EM平面EAD，所以GH平面EAD.(2)因为EFFB，EFAB，所以ABFB.在正方形ABCD中，ABBC，又FBBCB，所以AB平面FBC.又FG平面FBC，所以ABFG.在正三角形FBC中，FGBC，又ABBCB，所以FG平面ABCD.
