1、习题课均值不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=a+b2B.xa+b2C.xa+b2D.xa+b2答案B解析由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)(1+a)+(1+b)22,所以1+x1+a+b2,故xa+b2.2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0答案A解析由x+2y-xy=0,得2x+1y=1,且x0,y0.所以x+2y=(x+2y)2x+1y=4yx+xy+44+4=8,当且仅当x=2y
2、,即x=4,y=2时等号成立.3.若正实数a,b满足a+b=1,则()A.1a+1b有最大值4B.ab有最小值14C.a+b有最大值2D.a2+b2有最小值22答案C解析因为正实数a,b满足a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b有最小值4,故A不正确;由均值不等式可得a+b=12ab,当且仅当a=b=12时,等号成立,ab14,故ab有最大值14,故B不正确;由于(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab2,a+b2,故a+b有最大值为2,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-12=12,故a2
3、+b2有最小值12,故D不正确.4.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知正数a,b满足a+b=4,ab的最大值为t,不等式x2+3x-t0的解集为M,则下列结论正确的是()A.t=2B.t=4C.M=x|-4x1D.M=x|-1x4答案BC解析正数a,b满足a+b=4,aba+b22=4,即ab的最大值为t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.x2+3x-40的解集为M,M=x|-4x0;ab0,b0;a0,b0,800x-20得4x0,b0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1ab8;(2)1+1a1+1b9.证明(1)因为a+b=1,a0,b0,所以1a+1b+1ab=21a+1b.所
4、以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba2+2=4,所以1a+1b+1ab8当且仅当a=b=12时等号成立.(2)(方法1)因为a0,b0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=2+ba,同理1+1b=2+ab,所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab5+4=9.所以1+1a1+1b9当且仅当a=b=12时等号成立.(方法2)1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab,由(1)知,1a+1b+1ab8,故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab9.当且仅当a=b=12时取等号.等级考提升练10.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售
5、货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金()A.大于10 gB.小于10 gC.大于等于10 gD.小于等于10 g答案A解析设两臂长分别为a,b,两次放入的黄金数是x,y,依题意有ax=5b,by=5a,所以xy=25.因为x+y2xy,所以x+y10,又ab,所以xy.所以x+y10,即两次所得黄金数大于10g.11.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则4a-1+1b-1的最小值是()A.2B.4C.6D.8答案B解析因为a,b为大于1的实数,所以4a-10,1b-10.因
6、为a+b=ab可知ab-(a+b)=0,所以4a-1+1b-124a-11b-1=4ab-b-a+1=4.当且仅当a=3,b=32时等号成立.12.已知正实数m,n满足m+n=1,且使1m+16n取得最小值.若y=5m,x=4n是方程y=xa的解,则a=()A.-1B.12C.2D.3答案C解析1m+16n=1m+16n(m+n)=1+16mn+nm+16=17+16mn+nm17+216mnnm=25.当且仅当16mn=nm,又m+n=1,即m=15,n=45时,上式取等号,即1m+16n取得最小值时,m=15,n=45,所以y=25,x=5,25=5a.得a=2.13.若a0,b0,且a+
7、b=1,则1a2-11b2-1的最小值是()A.9B.8C.7D.6答案A解析1a2-11b2-1=1-a2-b2a2b2+1=(a+b)2-a2-b2a2b2+1=2ab+12a+b22+1=9.所以当a=b=12时,原式取最小值9.14.已知a0,b0,且2a+b=1,若不等式2a+1bm恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案B解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=13时等号成立,所以2a+1b的最小值为9,又因为2a+1bm恒成立,所以m9,即m的最大值为9.15.设a+b=2,b0,则12
8、|a|+|a|b取最小值时a的值为.答案-2解析因为a+b=2,所以12|a|+|a|b=24|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|ba4|a|+2b4|a|a|b=a4|a|+1,当且仅当b4|a|=|a|b时等号成立.又a+b=2,b0,所以当b=-2a,a=-2时,12|a|+|a|b取得最小值.16.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.解x+y=(x+y)ax+by=a+bxy+ayx+b=10+bxy+ayx.因为x,y0,a,b0,所以x+y10+2ab=18,当且仅当bxy=ayx时,等号
9、成立.即ab=4.又a+b=10,所以a=2,b=8或a=8,b=2.17.(2021山东日照高一期末)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a0.(1)若技术改进后,A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)1.5500,整理得x2-300x0,解得0x300,又x0,故00,ax125+500x+1.5恒成立,又x125+500x4,当且仅当x=250时,等号成立,00).(1)若m=1,求当x1时函数的最小值;(2)当x1,所以x-10,所以y=x-1+1x-1+12(x-1)1x-1+1=3,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时取等号,所以当x1时函数的最小值为3.(2)因为x1,所以x-10,所以y=x-1+mx-1+1=-1-x+m1-x+1-2(1-x)m1-x+1=-2m+1,当且仅当1-x=m1-x,即x=1-m时取等号,即函数的最大值为-2m+1,所以-2m+1=-3,解得m=4.
