1、第二章导数及其应用2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.设函数f(x)可导,则limx0f(1+3x)-f(1)3x等于()A.f(1)B.3f(1)C.13f(1)D.f(3)答案A解析limx0f(1+3x)-f(1)3x=f(1).2.已知函数f(x)=2x,且f(m)=-12,则m的值等于()A.2B.2C.-2D.-4答案A解析limx0f(m+x)-f(m)x=limx02m+x-2mx=-2m2,则-2m2=-12,m2=4,解得m=2.3.已知曲线y=f(x)=-12x2-2上一点P1,-52,则在点P处的切线的倾斜角为()
2、A.30B.45C.135D.165答案C解析点P1,-52在曲线y=f(x)=-12x2-2上,f(1+x)-f(1)x=-12(1+x)2-2+1212+2x=-1-12x,令x趋于0,则y=-12x2-2在x=1处的导数为f(1)=-1,即函数y=-12x2-2在点P处的切线斜率为-1.又倾斜角的取值范围是0,180),在点P处的切线的倾斜角为135.4.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为2x+y+1=0,则()A.f(x0)0B.f(x0)=0C.f(x0)0D.f(x0)不存在答案C解析由导数的几何意义,可得f(x0)=-20.5.设曲线y=f(x)=ax2在点(
3、2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a等于()A.2B.-116C.12D.-1答案B解析由y=ax2,得y=a(2+x)2-22a=4ax+a(x)2,则yx=4a+ax,令x趋于0,f(2)=4a.又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,4a=-14,a=-116.6.若点(0,1)在曲线f(x)=x2+ax+b上,且f(0)=1,则a+b=.答案2解析f(0)=limx0f(0+x)-f(0)x=limx0(a+x)=a=1,又f(0)=1,即b=1,a+b=2.7.在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+x,3+y),则limx0y
4、x=.答案2解析yx=(1+x)2+2-(12+2)x=2+x,limx0(2+x)=2.8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.答案2解析由题意知a+b=3,又f(1)=limx0a(1+x)2+b-(a+b)x=2a=2,则a=1,b=2,故ba=2.9.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+2x的图象在点(1,m)处的切线,则a+b=,m=.答案53解析由题意知m=a+2,1+m=b,因为f(1)=limx0f(1+x)-f(1)x=limx0a-21+x=a-2,所以曲线f(x)在点(1,m)处的切线斜率为a-2,由a-2=-1,得a=1,m=3,b=4,
5、a+b=5.10.求函数y=f(x)=x+2x在x=1处的导数.解f(1+x)-f(1)x=(1+x)+21+x-1-2x=x-11+x,令x趋于0,可知y=x+2x在x=1处的导数为f(1)=-1.11.求曲线f(x)=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积.解由导数定义可得f(1)=2,曲线f(x)=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,则它与两坐标轴的交点分别为A(0,-1),B12,0,SAOB=12OAOB=14.12.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2,求直线l2的方程
6、.解f(1+x)-f(1)x=(1+x)2+(1+x)-2-12-1+2x=x+3,令x趋于0,可知y=x2+x-2在x=1处的导数为f(1)=3.设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0,x02+x0-2),同理可得f(x0)=2x0+1,则直线l2的方程为y-(x02+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).因为l1l2,所以3(2x0+1)=-1,解得x0=-23,所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.关键能力提升练13.已知limx0f(2x+1)-f(1)2x=-2,则y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为()A.-4B.4C.2D.-2答案D解析根据题意,因为l
7、imx0f(2x+1)-f(1)2x=-2,即f(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率k=-2.故选D.14.如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f(2)等于()A.-4B.3C.-2D.1答案D解析由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线l与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),则可知l:x+y=4,f(2)=2,f(2)=-1,f(2)+f(2)=1,故选D.15.若曲线y=f(x)=x+1x上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,1)C.(-,1)D.(1,+)答案C解析y=x
8、+1x上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f(x0)=limx0(x0+x)+1x0+x-(x0+1x0)x=limx01-1x02+x0x=1-1x021,即k1.16.曲线y=f(x)=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为()A.y=9xB.y=9x-26C.y=9x+26D.y=9x+6或y=9x-26答案D解析设P(x0,x03-3x02+1),f(x0+x)-f(x0)x=(x0+x)3-3(x0+x)2+1-(x03-3x02+1)x=3x02x+3x0(x)2+(x)3-6x0x-3(x)2x=3x02+3x0x+(x)2-6x0-3x,令x
9、趋于0,则f(x0)=3x02-6x0=9,即x02-2x0-3=0,解得x0=-1或3.点P的坐标为(-1,-3)或(3,1).切线方程为y+3=9(x+1)或y-1=9(x-3),即y=9x+6或y=9x-26.17.(多选题)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为4的是()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)答案BC解析设切点坐标为(x0,y0),则f(x0+x)-f(x0)x=(x0+x)3-2(x0+x)-(x03-2x0)x=3x02x+3x0(x)2+(x)3-2xx,令x趋于0,则f(x0)=3x02-2=tan4=1,所
10、以x0=1,当x0=1时,y0=-1,当x0=-1时,y0=1.故选BC.18.曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为.答案83解析f(1)=limx0(1+x)3-1x=3,曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,则切线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为122-234=83.19.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为.答案4解析f(-2+x)-f(-2)x=(-2+x)2-(-2+x)+c-(6+c)x=-5+x.令x趋于0,则函数y=x
11、2-x+c在x=-2处的切线斜率为-5.切线方程为y=-5x.点P的纵坐标为y=-5(-2)=10,将P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.20.设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3上一点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为0,4,则点P的横坐标的取值范围为.答案-1,-12解析设点P的横坐标为x0,则f(x0+x)-f(x0)x=(x0+x)2+2(x0+x)+3-x02-2x0-3x=2x0x+2x+(x)2x=2x0+2+x,令x趋于0,则函数y=x2+2x+3在x=x0处的切线斜率为2x0+2,由题意,得02x0+21,-1x0-12,点P的横坐标的取值范围为-
12、1,-12.21.在抛物线y=x2上哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?哪一点处的切线垂直于这条直线?解y=limx0(x+x)2-x2x=limx0(2x+x)=2x.设抛物线上点P(x0,y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0,则2x0=4,解得x0=2,所以y0=x02=4,即P(2,4),经检验,符合题意.设抛物线上点Q(x1,y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0,则2x1=-14,解得x1=-18,所以y1=x12=164,即Q-18,164,经检验,符合题意.故抛物线y=x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x-y+1=0,在点-18,164处的切线垂直于直线4x-y+1=0.学科素养创新练22.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.解y=f(x+x)-f(x)=(x+x)3+a(x+x)2-9(x+x)-1-(x3+ax2-9x-1)=(3x2+2ax-9)x+(3x+a)(x)2+(x)3,yx=3x2+2ax-9+(3x+a)x+(x)2,f(x)=limx0yx=3x2+2ax-9=3x+a32-9-a23-9-a23.由题意知f(x)最小值是-12,-9-a23=-12,a2=9,a0,a=-3.
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