1、【课标要求】1.掌握数量积的坐标表达式.2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系.3.了解直线的方向向量的概念.自主学习 基础认识1平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：2直线的方向向量(1)定义：与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量(2)性质：给定斜率为 k 的直线 l 的一个方向向量为 m(1，k)|自我尝试|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线 x2y10 的方向向量为(1,2)()(2)若 a(x1，y1)
2、，b(x2，y2)，则向量 a，b 的夹角 满足 cosx1x2y1y2x21y21 x22y22.()(3)若 A(1,0)，B(0，1)，则|AB|2.()2若向量 a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数 m 的值为()A32 B.32C2 D6解析：依题意得 6m0，m6，选 D.答案：D3(2015新课标全国)向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2解析：a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.答案：C4已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k()A12 B6C6 D12解析：2ab(4,2)(1，k)(5
3、,2k)，由 a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，即 102k0，解得 k12.答案：D5若 a(4，3)，|b|1，且 ab5，则 b 的坐标为_解析：设 b(x，y)，则4，3x，y5，x2y21，解得x45，y35.答案：45，35课堂探究 互动讲练类型一数量积的坐标运算例 1(1)(2015高考全国卷)向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2(2)若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则 x()A6 B5C4 D3CC【思路点拨】坐标法求数量积，关键是利用 abx1x2y1y2求解【解析】(1)法一：因为 a(
4、1，1)，b(1,2)，所以 a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：因为 a(1，1)，b(1,2)，所以 2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选 C.(2)因为 a(1,1)，b(2,5)，所以 8ab(8,8)(2,5)(6,3)又因为(8ab)c30，所以(6,3)(3，x)183x30，所以 x4.方法归纳 数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算跟踪训练 1(1)设向量 a(1，2)，向量 b(3,4)，向量 c(3,2)，则向量(a2b)c(
5、)A(15,12)B0C3 D11(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，点 F 在 AD上，AF2FD，则BECF_.C23解析：(1)依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)53623.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，因为AF2FD，所以 F43，2.所以BE(2,1)，CF43，2(2,0)23，2，所以BECF(2,1)23，2 223 1223.类型二平面向量的模例 2(1)设平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 ab，则|3ab|等于(
6、)A.5B.6C.17D.26(2)已知|a|10，b(1,2)，且 ab10，则 a 的坐标为_A(10,0)或(6,8)【解析】(1)因为 ab，所以 1y2(2)0，解得 y4，从而 3ab(1,2)，|3ab|5.(2)设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x2y10 x2y210，即x2y10 x2y2100，解得x10y0，或x6y8，所以 a(10,0)或 a(6,8)方法归纳 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算 利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算 若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2.
7、跟踪训练 2(1)已知平面向量 a(2,4)，b(1,2)，若 ca(ab)b，则|c|等于()A4 2B2 5C8 D8 2(2)已知向量 a(cos，sin)，向量 b(3,0)，则|2ab|的最大值和最小值分别是()A4 2，0 B4,2 2C25,1 D5,1DD解析：(1)易得 ab2(1)426，所以 c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|82828 2.(2)由 于|2a b|2 4|a|2|b|2 4ab 13 12cos，又 1cos1，易知 11312cos25，故|2ab|的最大值和最小值分别是 5,1，故选 D.类型三平面向量的夹角(垂直)例 3 已知平面向量
8、a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且 ab，ac.(1)求 b 与 c；(2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夹角的大小【解】(1)因为 ab，所以 3x49，所以 x12.因为 ac，所以 344y0，所以 y3，所以 b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设 m、n 的夹角为，则 cos mn|m|n|37413242 72122525 2 22.因为 0，所以 34，即 m，n 的夹角为34.方法归纳 利用数量积求两向量夹角的步骤跟踪训练 3(1)已知 a，b 为平面向量，a(4,3)，2ab(3,
9、18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A.865 B 865C.1665 D1665(2)已知 A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则ABC 的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形CA解析：(1)设 a，b 的夹角为，b(x，y)，则 2ab(8x,6y)(3,18)，所以8x36y18，解得x5y12，故 b(5,12)，所以 cos ab|a|b|1665.故选 C.(2)由题设知AB(8，4)，AC(2,4)，BC(6,8)，所以ABAC28(4)40，即ABAC.所以BAC90.故ABC 是直角三角形|素养提升|1向量垂直的坐标表示(1)记忆口诀和注意
10、问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“abx1x2y1y20”可简记为“对应相乘和为 0”；“abx1y2x2y10”可简记为“交叉相乘差为 0”(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题2注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若 a(x1，y1)，b(x2，y2)则 abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.|巩固提升|1(2016丙卷(全国卷)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC()A30 B45C60 D120解析：由题意得 cosABC BABC|BA|BC|12 32 32 1211 32，又0ABC180，所以ABC30.答案：A2已知向量 a(1，x)，b(1，x)，若 2ba 与 a 垂直，则|a|()A1 B.2C2 D4解析：由题意得，2ba2(1，x)(1，x)(3，x)，(2ba)a，13x20，即 x23，|a|1232.答案：C3在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2,1)，则AD AC_.解析：由四边形 ABCD 为平行四边形，知ACABAD(3，1)，故AD AC(2,1)(3，1)5.答案：5
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