1、第2课时 习题课指数函数及其性质内 容 标 准学 科 素 养1.掌握指数型函数的单调性、奇偶性的判断与证明2.能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小，解不等式.熟练等价转化恰当分类讨论提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 比较幂的大小预习教材P7076，思考并完成以下问题若 x1x2，则 ax1 与 ax2(a0 且 a1)的大小关系如何？提示：当 a1 时，yax 在 R 上为增函数，所以 ax1ax2；当 0a1 时，yax 在 R上为减函数，所以 ax1ax2.知识梳理 一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数
2、，不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的来判断(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的的变化规律来判断(3)对于底数不同，指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断单调性图像中间值知识点二 解指数方程、不等式思考并完成以下问题若 ax1ax2(a0 且 a1)，则 x1，x2 的大小关系如何？提示：f(x)在区间m，n上单调递增(减)时，若 x1，x2m，n，则 f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)所以，当 0a1 时，ax1ax2x1x2，当 a1 时，ax1ax2x1x2.知识梳理 简单指数不等式的解法(1)形如 af(x)ag(x)的不等式，可借助 yax 的求解；(2
3、)形如 af(x)b 的不等式，可将 b 化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助 yax 的求解；(3)形如 axbx 的不等式，可借助 yax，ybx 的求解单调性单调性图像知识点三 与指数函数复合的函数单调性思考并完成以下问题y的定义域与 y1x的定义域是什么关系？y的单调性与 y1x的单调性有什么关系？提示：由于 yax(a0 且 a1)的定义域是 R，故 y的定义域与 y1x的定义域相同，故研究 y的单调性只需在 y1x的定义域内研究，若设 0 x1x2，则 1x1 1x2，不等号方向的改变与 y12x，y1x的单调性均有关知识梳理 一般地，有形如 yaf(x)(a0 且 a1)函数
4、的性质(1)函数 yaf(x)与函数 yf(x)有的定义域；(2)当 a1 时，函数 yaf(x)与 yf(x)具有的单调性；当 0a1 时，函数 yaf(x)与函数 yf(x)的单调性相同相同相反自我检测1若则 a、b、c 的大小关系是()AabcBabc CacbDbca解析：y0.5x在 R 上是减函数，又121314，即 abc.答案：B2若122a11232a，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B.12，C(，1)D.，12解析：函数 y12x 在 R 上为减函数，2a132a，a12.答案：B3某种细菌在培养过程中，每 20 min 分裂一次，即由 1 个细菌分裂成 2 个细菌
5、，经过 3 h，这种细菌由 1 个可繁殖成_个解析：3 h920 min，即经过 9 次分裂，可分裂为 29512 个答案：512探究一 比较两个幂的大小例 1 比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)1.57，8274；(3)2.30.28,0.673.1.思路点拨(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值 1 比较大小解析(1)(单调性法)由于 1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7，故构造函数 y1.7x，而函数 y1.7x在 R 上是增函数又 2.53，1.72.51.73.(2)(化同底)1.57327237，82
6、74233 42312，考察函数 y23x.0231，y23x 在 R 上是减函数又 712，2372312，即 1.578274.(3)(中间量法)由指数函数的性质，知 2.30.282.301,0.673.10.6701，则 2.30.280.673.1.方法技巧 1.比较幂的大小的常用方法：2若底数 a 的范围不确定，常分 a1 与 0a1 两类分别求解跟踪探究 1.比较下列两组数的大小：(a1)1.3与(a1)2.4(a1，且 a2)解析：由于 a1，且 a2，所以 a10，且 a11，若 a11，即 a2，则 y(a1)x 是增函数，(a1)1.3(a1)2.4.若 0a11，即 1
7、a2，则 y(a1)x是减函数，(a1)1.3(a1)2.4.探究二 利用指数型函数的单调性解不等式例 2(1)解不等式123x12；(2)已知 ax23x1ax6(a0，a1)，求 x 的取值范围解析(1)2121，原不等式可以转化为123x1121.y12x 在 R 上是减函数，3x11，x0.故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当 0a1 时，函数 f(x)ax(a0，a1)在 R 上是减函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图像可得 x1 或 x5；当 a1 时，函数 f(x)ax(a0，a1)在 R 上是增函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的
8、图像可得1x5.综上所述，当 0a1 时，x1 或 x5；当 a1 时，1x5.方法技巧(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式(2)解不等式 af(x)ag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值 范 围 的 习 惯，若 底 数 不 确 定，就 需 进 行 分 类 讨 论，即af(x)ag(x)fxgx，a1，fxgx，0a1.跟踪探究 2.若 ax11a53x(a0，且 a1)，求 x 的取值范围解析：ax11a53xax1a3x5，当 a1 时，可得 x13x5，x3.当 0a1 时，可得 x13x5，x3.当 a1 时，x 的
9、取值范围为(，3)当 0a1 时，x 的取值范围为(3，)探究三 指数型函数的单调性例 3 判断 f(x)13 x22x 的单调性，并求其值域解析 令 ux22x，则原函数变为 y13u.ux22x(x1)21 在(，1上递减，在(1，)上递增，又y13u 在(，)上递减，y13 x22x 在(，1上递增，在(1，)上递减ux22x(x1)211，y13u，u1，)，013u1313，原函数的值域为(0,3方法技巧 指数型复合函数 yaf(x)(a0，a1)的单调性(1)复合函数 yf(g(x)的单调性：当 yf(x)与 ug(x)有相同的单调性时，函数 yf(g(x)单调递增，当 yf(x)
10、与 ug(x)的单调性相反时，函数 yf(g(x)单调递减，简称为同增异减(2)当 a1 时，函数 yaf(x)与 yf(x)具有相同的单调性；当 0a1 时，函数 yaf(x)与函数 yf(x)的单调性相反跟踪探究 3.求函数 y2x22x 的单调区间解析：函数 y2x22x 的定义域是 R.令 ux22x，则 y2u.当 x(，1时，函数 ux22x 为增函数，函数 y2u 是增函数，所以函数 y2x22x在(，1上是增函数当 x(1，)时，函数 ux22x 为减函数，函数 y2u 是增函数，所以函数 y2x22x在(1，)上是减函数综上，函数 y2x22x 的单调减区间是(1，)，单调增
11、区间是(，1探究四 指数型函数的综合应用例 4 已知函数 f(x)12x112 x3.(1)求 f(x)的定义域(2)讨论 f(x)的奇偶性(3)证明：f(x)0.解析(1)由题意得 2x10，即 x0，f(x)的定义域为(，0)(0，)(2)令 g(x)12x112 2x122x1，其定义域为(，0)(0，)，(x)x3 的定义域为(，)故 f(x)的定义域为x|x0g(x)2x122x1 12x212xg(x)，g(x)为奇函数，又(x)x3 为奇函数，f(x)12x112 x3 为偶函数(3)证明：当 x0 时，2x1，2x10.x30，f(x)0.由偶函数的图像关于 y 轴对称知，当
12、x0 时，f(x)0 也成立故对于 x(，0)(0，)，恒有 f(x)0.方法技巧 1.判定函数奇偶性要注意的问题(1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数(2)正确利用变形技巧：耐心分析 f(x)和 f(x)的关系，必要时可利用 f(x)f(x)0 判定(3)巧用图像的特征：在解答有图像信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称，进行快速判定2由指数函数构成的复合函数的值域求法一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况3指数型函数 ykax(kR 且
13、k0，a0 且 a1)模型问题(1)设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 yN(1p)x(xN)(2)形如 ykax(kR，且 k0，a0，且 a1)的函数是一种指数型函数，这是一类非常有用的函数模型跟踪探究 4.设函数 f(x)exaaex(e 为无理数，且 e2.718 28)是 R上的偶函数且 a0.(1)求 a 的值；(2)判断 f(x)在(0，)上的单调性解析：(1)f(x)是 R 上的偶函数，f(1)f(1)，e1a ae1eaae，即 1aeaeeaae.1e1aa e1aa，1aa0，a21.又 a0，a1.(2)f(x)exex，设 x1，
14、x20，且 x1x2，f(x2)f(x1)ex2ex2ex1ex1ex2ex1 1ex2 1ex1ex2ex1ex1ex2ex1ex2(ex2ex1)11ex1ex2.x1，x20，x1x2，ex2ex1 且 ex1ex21，(ex2ex1)11ex1ex2 0，即 f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上为增函数.课后小结1比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数型函数 yax的单调性(2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”，若 amc 且 cbn，则 ambn；若 amc 且 cbn，则 ambn.2指数型函数单调性的应用(
15、1)形如 yaf(x)的函数的单调性：令 uf(x)，xm，n，如果两个函数 yau 与 uf(x)的单调性相同，则函数 yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数 yaf(x)在m，n上是减函数(2)形如 axay 的不等式，当 a1 时，axayxy；当 0a1 时，axayxy.素养培优 因忽略换元后新变量的取值范围而致误易错案例：设 a0，且 a1，如果函数 ya2x2ax1 在1,1上的最大值为 14，求a 的值易错分析：指数函数 yax(a0 且 a1)的值域是(0，)，在利用换元法解题时，若假设 tax，则 t0，一定要注意换元后新变量的范围忽略这一点容易产生漏解或错解考查等价转化、数学运算的学科素养自我纠正：令 bax，则 a2xb2，yb22b1(b1)22，对称轴 b1，若 0a1，则 bax 是减函数，所以 a1a，0ab1a，y 的图像都在对称轴 b1 的右边，开口向上，并且递增，b1a时有最大值，yb22b114，b22b150，(b3)(b5)0，又b0，b1a3，a13，符合 0a1；若 a1，则 bax 是增函数，此时，01aba，y 的图像仍在对称轴 b1 的右边，还是增函数，ba 时有最大值，所以 yb22b114，b0，ba3，符合 a1.综上所述，a13或 a3.04 课时 跟踪训练