1、第二节平面向量的数量积及其应用考点一向量的数量积1.(2015广东，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则()A.5 B.4 C.3 D.2解析四边形ABCD为平行四边形，(1，2)(2，1)(3，1).23(1)15.答案A2.(2015陕西，8)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b| B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2 D.(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B3.(
2、2014新课标全国，4)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A.1 B.2 C.3 D.5解析因为|ab|，所以|ab|210，即a22abb210.又因为|ab|，a22abb26.由得4ab4，即ab1，故选A.答案A4.(2012福建，3)已知向量a(x1，2)，b(2，1)，则ab的充要条件是()A.x B.x1C.x5 D.x0解析a(x1，2)，b(2，1)，ab，ab(x1，2)(2，1)2(x1)212x0，x0.答案D5.(2013湖北，7)已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C. D.解析A(1，1)
3、，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，a(2，1)，b(5，5).向量在方向上的投影为|cosa，b.故选A.答案A6.(2015湖北，11)已知向量，|3，则_.解析因为，所以0.所以()2|20329.答案97.(2015天津，13)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_.解析在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60，CD1，21cos 6021cos 60cos 120.答案8.(2014重庆，12)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_.解析因为a(2，6)，所以|a|
4、2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.答案109.(2013新课标全国，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析本题考查平面向量数量积的运算.bcbta(1t)btab(1t)|b|2t1t1t0t2.答案210.(2013新课标全国，14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析本题考查向量数量积及运算性质.以，为基底，则0，()|2|222222.答案2考点二平面向量的夹角、长度问题1.(2015重庆，7)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A. B. C.
5、 D.解析因为a(2ab)，所以a(2ab)2a2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0，又|b|4|a|，则上式可化为2|a|2|a|4|a|cosa，b0即24cosa，b0，所以cosa，b，即a，b夹角为.答案C2.(2014湖南，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A.4，6 B.1，1C.2，2 D.1，1解析设D(x，y)，则(x3)2y21，(x1，y)，故|，|的最大值即为圆(x3)2y21上的点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心到点(1，)的距离加上圆的半径，即11，
6、最小值为11，故取值范围为1，1.答案D3.(2014山东，7)已知向量a(1，)，b(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m()A.2 B. C.0 D.解析根据平面向量的夹角公式可得，即3m，两边平方并化简得6m18，解得m，经检验符合题意.答案B4.(2012重庆，6)设xR，向量a(x，1)，b(1，2)，且ab，则|ab|等于()A. B. C.2 D.10解析由ab(x，1)(1，2)x20，得x2，所以ab(2，1)(1，2)(3，1)，所以|ab|.故选B.答案B5.(2013湖南，8)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.
7、 C.1 D.2解析由ab0，得ab，故|ab|.而1|cab|c|ab|c|，则有1|c|1，解得1|c|1，故|c|的最大值为1.答案C6.(2015浙江，13)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析因为|e1|e2|1且e1e2.所以e1与e2的夹角为60.又因为be1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b与e1的夹角为30，所以be1|b|e1|cos 301.|b|.答案7.(2014四川，14)平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析由
8、已知可以得到c(m4，2m2)，且cosc，acosc，b，所以，即，即，解得m2.答案28.(2013安徽，13)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.解析|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosa，b.答案9.(2013浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_.解析因为b0，所以bxe1ye2，x0，y0.又|b|2(xe1ye2)2x2y2xy，不妨设t，则，当t时，t2t1取得最小值，此时取得最大值，所以的最大值为2.答案210.(2014
9、陕西，18)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且mn(m，nR).(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值.解(1)mn，(1，2)，(2，1)，(1，2)(2，1)(2，2)，|2.(2)m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，两式相减，得mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.考点三向量的应用1.(2015福建，7)设a(1，2)，b(1，1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()A. B. C. D.解析cakb(1，2)
10、k(1，1)(1k，2k)，bc，bc0，bc(1，1)(1k，2k)1k2k32k0，k，故选A.答案A2.(2015湖南，9)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2，0)，则|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9解析由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，线段AC为圆的直径，故2(4，0)，设B(x，y)，则x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y)，|，当x1时，此式有最大值7，故选B.答案B3.(2014安徽，10)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x
11、1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.0解析设Sx1y1x2y2x3y3x4y4，若S的表达式中有0个ab，则S2a22b2，记为S1，若S的表达式中有2个ab，则Sa2b22ab，记为S2，若S的表达式中有4个ab，则S4ab，记为S3.又|b|2|a|，所以S1S32a22b24ab2(ab)20，S1S2a2b22ab(ab)20，S2S3(ab)20，所以S3S2S1，故SminS34ab，设a，b的夹角为，则Smin4ab8|a|2cos 4|a|2，即cos ，又0，所以.答案B4.(2013广东，10)设a是已
12、知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc.给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析对于，若向量a，b确定，因为ab是确定的，故总存在向量c，满足cab，即abc，故正确；对于，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足abc，故正确；对于，如果abc，则以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形，如果b和
13、正数确定，则一定存在单位向量c和实数满足abc，故正确；对于，如果给定的正数和不能满足“以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误，故选C.答案C5.(2013福建，10)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B.2 C.5 D.10解析由于1(4)220，故，则该四边形的面积S|5.答案C6.(2012广东，10)对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合|nZ中，则ab()A. B. C.1 D.解析由已知cos ，再根据的定义可知，bacos ；abcos .(ab)(ba)cos2.又因为ab和ba都在集合|nZ中，所以n只能取1，此时ab.答案D7.(2015江苏，14)设向量ak(k0，1，2，12)，则(akak1)的值为_.解析ak，akak1coscoscoscossin.故 akak1=coscossin.由cos0，sin0，得akak1cos129.答案98.(2011浙江，15)若平面向量、满足|1，|1，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.解析以，为邻边的平行四边形的面积为S|sin |sin ，sin .又|1，即sin 且0，.答案