1、2016-2017学年广东省清远市南阳中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1设命题P：nN，n22n，则P为（）AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n2设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D93抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为（）A2BC4D4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若c=，b=，B=120，则a等于（）ABCD25设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（）ABCa2b2Dab2a2b6已知an是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2
2、+a2a3+anan+1=（）A16（14n）B16（12n）C（14n）D（12n）7设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8已知点F1，F2是椭圆C： =1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，则MF1F2的面积为（）ABC1D29设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=，cosB=，b=3，则c=（）ABCD10已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D811已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，
3、且AB的中点为N（12，15），则E的方程式为（）ABCD12等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是ACBC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（）ABCD二、填空题（20分，每题5分）13执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是14把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）=15以点（2，3）为圆心且与直线2mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为16由计算机产生2n个01之间的均匀随机数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2y
4、2），（xn，yn）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为三、解答题17在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosA+acosC=2bcosA（）求cosA；（）若，b+c=4，求ABC的面积18已知数列an满足：a1=2，an+1=3an+2（）证明：an+1是等比数列，并求an的通项公式；（）设Sn=，求Sn19如图边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（）证明：A1N平面AMD1；（）求二面角MAD1D的余弦值20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点坐标为F（，0）（）求p的值；
5、（）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OAOB，求l的方程21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD底面ABCD（）证明：平面PBC平面PBD；（）若二面角PBCD大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值22已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求OBD面积的最大值2016-2017学年广东省清远市南阳中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答
6、案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1设命题P：nN，n22n，则P为（）AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n【考点】命题的否定【分析】由特称命题的否定为全称命题，可得结论【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题P：nN，n22n，则P为nN，n22n故选：C2设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D9【考点】等差数列的前n项和【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d
7、=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A3抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为（）A2BC4D【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线方程求解即可【解答】解：抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为：P=故选：B4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若c=，b=，B=120，则a等于（）ABCD2【考点】正弦定理【分析】由题意和正弦定理求出sinC，由内角的范围和条件求出C，由内角和定理求出A，利用边角关系求出a【解答】解：c=，b=，B=120，由正弦定理得，则sinC=，0C120，C=30，A=180BC=30，即A=C，a=c=，故选B5设a，b是非零实数，若ab，则下
8、列不等式成立的是（）ABCa2b2Dab2a2b【考点】不等式的证明【分析】A，C，D取特殊值，D利用不等式的性质证明即可【解答】解：a=1，b=1，则A，C不成立；a=2，b=1，则D不成立，对于B，左右=0，成立故选B6已知an是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+anan+1=（）A16（14n）B16（12n）C（14n）D（12n）【考点】等比数列的前n项和【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列anan+1每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为进而根据等比数列求和公式可得出答案【解答】解：由，解得数列anan+1仍是等比数列：其首项是a1a2=
9、8，公比为，所以，故选：C7设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若ab，ab0，不等式a|a|b|b|等价为aabb，此时成立0ab，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立a0b，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立若a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当
10、a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C8已知点F1，F2是椭圆C： =1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，则MF1F2的面积为（）ABC1D2【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆性质和余弦定理推导出cosF1MF2=90，由此利用椭圆定义和定弦定理能求出MF1F2的面积【解答】解：点F1，F2是椭圆C： =1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，+2|cosF1MF2=12，由余弦定理得2=12，联立，得：cosF1MF2=90，|MF1|
11、+|MF2|=2a=4，=16，|MF1|MF2|=（1612）=2，MF1F2的面积S=|MF1|MF2|=2=1故选：C9设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=，cosB=，b=3，则c=（）ABCD【考点】余弦定理【分析】由A和B都为三角形的内角，根据cosA及cosB的值，求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，求出sinC的值，再利用正弦定理求出c的值【解答】解：ABC中，cosA=，cosB=，sinA=，sinB=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，又b=3，由正弦定理=得：c=故选：A
12、10已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D8【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值992或4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选项为B11已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则E的方程式为（）ABCD【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联
13、立相减得x1+x2=24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=24，y1+y2=30得=，从而=1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B12等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M，N分别是ACBC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，
14、然后利用向量的所成角公式求出所成角即可【解答】解：设AB=2，作CO面ABDE，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角，CH=，OH=CHcosCHO=1，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN=EM=CH=， =（+），=，=故EM，AN所成角的余弦值=，故选D二、填空题（20分，每题5分）13执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是2【考点】伪代码【分析】本题考查条件语句，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x的正负，根据函数值求出自变量即可【解答】解：根据条件语句可知是计算y=，当x0时，若输出的结果是4，可得x=4，矛盾；当x0时，若输
15、出的结果是4，x2=4，解得：x=2故答案为：214把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）=【考点】条件概率与独立事件【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是=，代入条件概率的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是=，P（B|A）=故答案为：15以点（2，3）为圆心且与直线2mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为（x2）2+（y+3）2=5【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线
16、【分析】根据题意，将直线的方程变形可得y+1=2m（x1），分析可得其定点M（1，1），进而分析可得满足题意的圆是以P为圆心，半径为MP的圆，求出MP的长，将其代入圆的标准方程计算可得答案【解答】解：根据题意，设圆心为P，则点P的坐标为（2，3）对于直线2mxy2m1=0，变形可得y+1=2m（x1），即直线过定点M（1，1），在以点M（2，3）为圆心且与直线2mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，面积最大的圆的半径r长为MP，则r2=MP2=5，则其标准方程为（x2）2+（y+3）2=5；故答案为：（x2）2+（y+3）2=516由计算机产生2n个01之间的均匀随机数x1，x2，xn，y1
17、，y2，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2y2），（xn，yn）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为【考点】模拟方法估计概率【分析】利用n对01之间的均匀随机数x，y，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足且，面积为，结合面积比，即可得出结论【解答】解：由题意，n对01之间的均匀随机数x，y，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足且面积为，所以，得=故答案为三、解答题17在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosA+acosC=2bcosA
18、（）求cosA；（）若，b+c=4，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出（）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）代入ccosA+acosC=2bcosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA即：sin（A+C）=2sinBcosAsin（B）=2sinBcosAsinB=2sinBcosA，B（0，）sinB0（）由余弦定理，即（b+c）23bc=7上式代入b+c=4得bc=3所以ABC的面积是18已知数列an满
19、足：a1=2，an+1=3an+2（）证明：an+1是等比数列，并求an的通项公式；（）设Sn=，求Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（）由an+1=3an+2，变形为an+1+1=3（an+1），利用等比数列的定义及其通项公式即可得出（）利用“裂项求和”方法即可得出【解答】（）证明：由an+1=3an+2an+1+1=3（an+1）a1=2，a1+1=30且an+10所以an+1是首项为3公比为3的等比数列，得即an的通项公式是（）解：=19如图边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（）证明：A1N平面AMD1；（）求二面角MAD1D
20、的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1N平面AMD1（）求出平面ADD1的一个法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角MAD1D的余弦值【解答】证明：（）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系则A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）设平面AMD1的法向量是则取x=1，得所以，即又A1N平面AMD1A1N平面AMD1解：（）平面ADD1的一个法向量为，平面AMD1的法向量是由（）得由图形得二面角MAD1D的平面角
21、是锐角，所以二面角MAD1D的余弦值是20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点坐标为F（，0）（）求p的值；（）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OAOB，求l的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】（）由抛物线的几何性质求p的值；（）设直线的方程为y=2x+t，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OAOB得x1x2+y1y2=0，即可求解【解答】解：（）由抛物线的几何性质知（）设直线的方程为y=2x+t由得4x2+（4t2）x+t2=0，由题（4t2）244t20解得设A（x1，y1），B（x2，y2），则，解得t=0或4，4由题意
22、直线l不过原点且得t=4符合题意所以所求直线方程为y=2x421如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD底面ABCD（）证明：平面PBC平面PBD；（）若二面角PBCD大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定【分析】（）由已知条件推导出BCBD，PDBC，从而得到BC平面PBD，由此能证明平面PBC平面PBD（）由（）知，BC平面PBD，从而得到PBD即为二面角PBCD的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值【解答】（
23、）证明：CD2=BC2+BD2BCBD又PD底面ABCDPDBC又PDBD=DBC平面PBD而BC平面PBC，平面PBC平面PBD（）由（）知，BC平面PBD，所以PBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD=而，所以底面ABCD为平行四边形，DADB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A（2，0，0），所以，设平面PBC的法向量为，则即令b=1则，AP与平面PBC所成角的正弦值为：22已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）直线l与直线l1垂直
24、且与曲线C交于B、D两点，求OBD面积的最大值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）A（x0，y0），先求出圆C1的方程，再根据动点N满足=，得到关于x0，y0的方程组，解得即可（）设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组求出x1，x2，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式解得即可【解答】解：（）设动点N（x，y），A（x0，y0），因为AMx轴于M，所以M（x0，0），设圆C1的方程为x2+y2=r2由题意得所以圆C1的程为x2+y2=9由题意， =（0，y0），=（xx0，y），=所以将A（x0，y0），代入圆x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为（）由题意可设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程得13x2+12mx+3m29=0=144m2134（3m29）0，解得m239又因为点O到直线l的距离，（当且仅当m2=39m2即时取到最大值）OBD面积的最大值为2017年4月2日