1、3.2 全集与补集内 容 标 准学 科 素 养1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题3.能借助Venn图，利用集合运算的定义解决有关的实际应用问题.加强数学运算熟练数形结合精确数学概念01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 全集预习教材P1214，思考并完成以下问题(正确的打“”，错误的打“”)(1)全集一定是实数集 R.()(2)全集一定包含所有元素()提示：(1)(2)(1)全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集 R，而在整数范围内解不等式，则
2、全集为整数集 Z.(2)全集并不是一个包罗万象的集合，而仅仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，问题不同，全集也不尽相同知识梳理 全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是，这个给定的集合叫做全集(2)符号表示：全集通常记作.某个给定集合的子集U知识点二 补集思考并完成以下问题(1)若 BUA，则()AABBBA CAU DAB(2)已知 UR，集合 Ax|x2 或 x2，则UA()Ax|2x2 Bx|x2 或 x2Cx|2x2 Dx|x2 或 x2提示：(1)C(2)C知识梳理 补集(1)定义：设 U 是全集，A 是 U 的一个子集(即 AU)，则由 U 中的元素组成的集合，叫做 U
3、 中子集 A 的补集(或余集)(2)符号表示：集合 A 相对于全集 U 的补集记作，即UA(3)图示：用 Venn 图表示UA，如图所示：所有不属于AUAx|xU，且xA 知识点三 补集的性质思考并完成以下问题设集合 A1,2，那么相对于集合 M0,1,2,3和 N1,2,3，MA 和NA 相等吗？由此说说你对全集与补集的认识提示：MA0,3，NA3，MANA.由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同知识梳理 补集的性质(1)A(UA)U；(2)A(UA)；(3)UU，UU，U(UA)A；(4)(UA)(
4、UB)U(AB)；(5)(UA)(UB)U(AB)思考：1.全集就是实数集 R 吗？提示：不一定全集的定义指出“全集包含研究问题中所涉及的所有元素”，但我们研究的问题并不一定是实数集，也有可能为整数集、自然数集或有理数集等2理解补集的定义应注意些什么？提示：(1)补集是相对于全集 U 的一个子集而言的如果全集 U 不存在了，其补集便无从谈起(2)UA 包含五层含义：AU；UAU；UA 中的元素 x 满足 xU，但 xA；A(UA)；A(UA)U.自我检测1已知全集 U1,2,3,4,5,6,7，集合 A1,3,5,6，则UA()A1,3,5,6 B2,3,7C2,4,7 D2,5,7解析：由补
5、集的定义，集合 A 在 U 中的补集指 U 中除 A 外其他元素构成的集合故选 C.答案：C2已知全集 UR，Ax|x2，则UA 等于()Ax|x2 Bx|x2Cx|x2 Dx|x2解析：全集为 R，Ax|x2，UAx|x2答案：C3已知全集 U0,1,2，且UA2，则 A_.解析：由 Venn 图可知 A0,1答案：0,1探究一 补集的运算例 1(1)已知全集 U，集合 A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合 B_；(2)已知全集 Ux|x5，集合 Ax|3x5，则UA_.思路点拨(1)先结合条件，由补集的性质求出全集 U，再由补集的定义求集合 B，也可借助 Venn 图求
6、解(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解解析(1)法一：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，B2,3,5,7法二：借助 Venn 图，如图所示由图可知 B2,3,5,7(2)将全集 U 和集合 A 分别表示在数轴上，如图所示由补集定义可得UAx|x3，或 x5答案(1)2,3,5,7(2)x|x3，或 x5延伸探究 若把第(2)题的条件“Ux|x5”换成“Ux|6x6”，其他条件不变，求UA.解析：Ux|6x6，Ax|3x5，UAx|6x3，或 5x6方法技巧 1.补集符号UA 的三层含义：(1)UA 表示一个集合；(2)A 是 U 的子集，
7、即 AU；(3)UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合2求补集的方法：求给定集合 A 的补集通常利用补集的定义去求，从全集 U 中去掉属于集合 A 的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为 A 的补集常借助 Venn 图或数轴求解探究二 补集的应用例 2 已知集合 Ax|xa，Bx|1x2，且 ARBR，则实数 a 的取值范围是_解析 Bx|1x2，RBx|x1，或 x2，又 Ax|xa，且 ARBR，利用如图所示的数轴可得 a2.答案 a2延伸探究 将本例中的条件“ARBR”改为“ARB”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是_解析：Bx|1x2，RBx|x1，或 x2，又 Ax|
8、xa，且 ARB，利用如图所示的数轴可得 a1.答案：a1方法技巧 已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的“取”与“舍”跟踪探究 1.设全集 U(3,6，m2m1)，A|32m|,6，UA5，求实数 m.解析：因为UA5，所以 5U 但 5A，所以 m2m15，解得 m3 或 m2.当 m3 时，|32m|35，此时 U3,5,6，A3,6，满足UA5；当 m2 时，|32m|75，此时 U3,5,6，A6,7，不符合题意舍去综上可知 m3.探究三 交集、并集、补集的综合运算例 3 设 Ax|2x
9、2ax20，Bx|x23x2a0，AB2(1)求 a 的值及 A，B；(2)设全集 UAB，求(UA)(UB)；(3)写出(UA)(UB)的所有子集思路点拨(1)由 AB22A 且 2B解出 a 及 A，B.(2)利用集合的运算求(UA)(UB)进而求出所有子集解析(1)AB2，2A，且 2B.82a20，即 a5.Ax|2x25x2012，2，Bx|x23x1005,2(2)由(1)可知 U5，12，2UA5，UB12.(UA)(UB)5，12.(3)由(2)可知(UA)(UB)的所有子集为5，12，5，12.延伸探究 在题设(2)不变的情况下，计算U(AB)及(UA)(UB)解析：AB2，
10、U5，12，2，U(AB)5，12.又UA5，UB12.(UA)(UB).方法技巧 交集、并集、补集的综合运算主要有两种情况：(1)对于有限集，先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解，在解答过程中也常常借助于 Venn 图，这样处理问题，相对来说比较直观、形象，且不易出错(2)对于无限集，常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据交集、并集、补集的定义求解，这样处理比较形象、直观，解答过程中注意端点值问题跟踪探究 2.已知全集 Ux|5x3，Ax|5x1，Bx|1x1，求UA，UB，(UA)(UB)解析：将集合 U，A，B 分别表示在数轴上，如图所示
11、，则UAx|1x3；UBx|5x1，或 1x3方法一：(UA)(UB)x|1x3方法二：ABx|5x1，(UA)(UB)U(AB)x|1x3.课后小结1补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集 R 当做全集(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想(3)从符号角度来看，若 xU，A U，则 xA 和 xUA 二者必居其一求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用 Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法
12、表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示2与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形3不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集素养培优因对补集的概念认识不到位而致误易错案例：设全集 U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，求实数 a 的值易错分析：准确理解补集的概念是求解此类问题的关键实际上UA 的数学意义包括两个方面，首先必须具备 AU，其次是定义UAx|xU，且 xA因此本题应先由 5U 求出 a 的值，再利用 AU 验证 a 的值是否符合题意考查概念把握的学科素养和数学运算的基本能力自我纠正：UA5，5U，且 5A.a22a35，且|2a1|5，解得 a2 或 a4.当 a2 时，|2a1|3，A2,3，符合题意；而当 a4 时，A9,2，不是 U 的子集实数 a 的值是 2.04 课时 跟踪训练