1、高考资源网（） 您身边的高考专家2超几何分布学 习 目 标核 心 素 养1.理解超几何分布及其推导过程(重点)2能用超几何分布解决一些简单的实际问题(难点)通过对超几何分布的学习，培养“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk)(其中k为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布2超几何分布的表格形式Xk012kP(Xk)思考：如何正确理解超几何分布？提示在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如
2、“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(Xm)()答案1)(2)(3)(4)2设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()
3、A.B.C.D.D设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N100，M80，n10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X6，P(X6).利用超几何分布求概率【例1】一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列解(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数nC20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P.(2)由题意知X
4、0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列为：X0123P解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同值k时的概率P(Xk)，从而求出X的分布列1高二(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率解若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表
5、示取到的红球数，则X服从超几何分布由公式得P(X4)0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95%.超几何分布的应用探究问题1袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球试求得分X的分布列提示从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X5)，P(X6)，P(X7)，P(X8).故所求的分布列为X5678P2.在上述问题中，求得分大于6分的概率提示根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X6)P(X7)P(X8).【例2】交通指
6、数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为T，其范围为0,10，分别有五个级别：T0,2)畅通；T2,4)基本畅通；T4,6)轻度拥堵；T6,8)中度拥堵；T8,10严重拥堵晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列思路探究： (1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为4,6)和6,8)时的频数根据频率分布直方图的性质求解(2)先根据超几何分布的概率公
7、式求解X取各个值时的概率，再列出分布列解(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.10.2)1206；中度拥堵的路段个数是(0.30.2)12010.(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列为X0123P1超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同2在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键2某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办
8、公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为，试求的分布列，并求他至多试开3次的概率解的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5).因此的分布列为12345P由分布列知P(3)P(1)P(2)P(3).1超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(MN)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(Xk)(kl，l是n和M中较小的一个)2在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的
9、概率P，从而写出X的分布列. 1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A. B. C. D.C根据题意知，该问题为古典概型，P.2某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X3)()A. B. C. D.DP(X3).3从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X1)_.X1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X1).4在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为_(用式子表示)设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N15，M5，n4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(Xk)(k0,1,2,3,4)P(X3).5一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列解X可能取的值为0,1,2.由题意知，X服从超几何分布，所以P(X0)；P(X1)；P(X2).所以X的分布列为：Xk012P(Xk) - 7 - 版权所有高考资源网