1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算高一必修4本节目标 1了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示2掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则3正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来1设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则 a2b 等于()A(7,3)B(7,7)C(1,7)D(1,3)A前置学习 2已知向量OA(3，2)，OB(5，1)，则向量12AB 的坐标是()A.4，12B.4，12C.(8,1)D.(8,1)解析 ABOB OA(8,1)，12AB4，12.A前置学习 3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，
2、2)，C(3,1)，且BC 2AD，则顶点 D 的坐标为()A.2，72B.2，12C.(3,2)D.(1,3)解析 设 D 点坐标为(x，y)，则BC(4,3)，AD(x，y2)，由BC2AD 得42x，32y2，x2y72，D(2，72)A前置学习 4已知向量 a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若 pmanb，则 mn_.解析 由2mn93m2n4，解得m2n5.故 mn7.7前置学习 1平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个i，j 作为基底，对于平面内的
3、一个向量 a，有且只有一对实数 x，y 使得 axiyj，则叫做向量 a 的坐标，叫做向量 a的坐标表示(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则OA，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB 互相垂直单位向量有序数对(x，y)a(x，y)(x,y)(x2x1,y2y1)前置学习 2平面向量的坐标运算(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若 a(x，y)，R，则 a，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数
4、乘原来向量的相应坐标.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x，y)前置学习 探究点一 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底对于平面内的任一向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj.我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标显然有，i，j，0(1,0)(0,1)(0,0)问题 1 根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是 1.答 a(2,3)，b(2,3)，c(3，
5、2)，d(3，3)问题 2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB(xBxA，yByA)所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量 a，b，c，d 所对应的点 A，B，C，D.其中 aOA(1,3)；bOB(5，2)；cOC(2，2)；dOD(2，4)答 探究点二 平面向量的坐标运算问题 1 已知 aOA，bOB，cOC，如下图所示，写出 a，b，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量 ab，ab 以及a3c，然后写出它们的坐标易知：a(4,1)，b(5,3)，c(1
6、,1)，答 OD ab(1,4)，BAab(9，2)，OF a3c(1，2)问题 2 一般地，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，试写出 ab，ab，a，ab 的坐标答 a(x1，y1)x1iy1j，b(x2，y2)x2iy2j.ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j(x1x2，y1y2)；ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j(x1x2，y1y2)；a(x1iy1j)(x1)i(y1)j(x1，y1)；ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1)i(y1)j(x2)i(y2)j(x1x2)i(y1y2)j(x1x2，y1y2)【典型例题
7、】例 1 已知平面上三点 A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)，求：(1)AB AC；(2)AB 2BC；(3)BC 12AC.解 A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)AB(0,6)(2，4)(2,10)，AC(8,10)(2，4)(10,14)，BC(8,10)(0,6)(8,4)(1)ABAC(2,10)(10,14)(8，4)(2)AB2BC(2,10)2(8,4)(18,18)(3)BC12AC(8,4)12(10,14)(3，3)强化训练 小结(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算跟踪训练 1 已知 a(1
8、,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)12a13b.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)12a13b12(1,2)13(2,1)12，1 23，13 76，23.例 2 已知 a(2,3)，b(3,1)，c(10，4)，试用 a，b 表示 c.解 设 cxayb，则(10，4)x(2,3)y(3,1)(2x3y,3xy)，102x3y，43xy，解得 x2，y2，c2a2b.小结 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把
9、一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法跟踪训练 2 已知 a(10，5)，b(3,2)，c(2,2)，试用 b，c 表示 a.解 设 abc(，R)则(10，5)(3,2)(2,2)(3，2)(2，2)(32，22)1032522，解得172，ab72c.例 3 已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，求顶点 D 的坐标解 设 D(x，y)则AB(4,1)，DC(5x,6y)，由ABDC 得5x46y1，x1y5.顶点 D 的坐标为(1,5)小结 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要
10、充分利用这一点，有效解决问题跟踪训练 3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，2)，求第四个顶点的坐标解 不妨设 A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，第四个顶点为 D(x，y)则A、B、C、D 四点构成平行四边形有以下三种情形(1)当平行四边形为 ABCD 时，ABDC，(4,6)(3,7)(1，2)(x，y)，1x1，2y1，x0，y1.D(0，1)；(2)当平行四边形为 ABDC 时，仿(1)可得 D(2，3)；(3)当平行四边形为 ADBC 时，仿(1)可得 D(6,15)综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，1)，(2，3)或(6,15).作业布置 在线完成2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算随堂检测完成后点击提交.同学们要认真答题哦！本课小结 作业布置 在线完成 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课后作业.再见