1、第一讲 函数与方程思想配套作业一、选择题1. (2014安徽卷)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f(A)A. B. C0 D解析：由题意，ffsin fsin sin fsin sin sin 0.故选A.2设a1，若对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程logaxlogay3，这时a的取值的集合为(B)Aa|1a2 Ba|a2Ca|2a3 D2，3解析：依题意得y，当xa，2a时，ya，a2，因此有a2a，又a1，由此解得a2.故选B.3对任意a1，1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于零，则x的取值范围是(B)A. B.C. D.解
2、析：由f(x)x2(a4)x42a0得a(x2)x24x40.令g(a)a(x2)x24x4，由不等式f(x)0恒成立，即g(a)0在1，1上恒成立有即解得x3.4椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|(C)A. B. C. D4解析：如图，令|F1P|r1，|F2P|r2，那么r2.5(2014全国大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)(D)A2 B1 C0 D1解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x), 又因为f(x2)是偶函数，则f(x2)f(x2)，所以f(8)f(
3、62)f(62)f(4)f(4)，而f(4)f(22)f(22)f(0)0，f(8)0，同理f(9)f(72)f(72)f(5)f(5)；而f(5)(32)f(32)f(1)f(1)1，f(9)1，所以f(8)f(9)1.故选D.6(2014湖南卷)已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(B)A. B.C. D. 解析：由题可得存在x0(，0)满足f(x0)g(x0)xex0(x0)2ln(x0a)ex0ln(x0a)0，令h(x)exln(xa)，因为函数yex和yln(xa)在定义域内都是单调递增的，所以函数h(x)exln(
4、xa)在定义域内是单调递增的，又因为x趋近于时，函数h(x)0且h(x)0在(，0)上有解(即函数h(x)有零点)，所以h(0)e0ln(0a)0ln alna.故选B.二、填空题7(2015江苏卷)已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_解析：当0x1时，方程为ln x1，解得x.当1x2时，f(x)g(x)ln x2x2单调递减，值域为(ln 22，1)，方程f(x)g(x)1无解，方程f(x)g(x)1恰有一解当x2时，f(x)g(x)ln xx26单调递增，值域为ln 22，)，方程f(x)g(x)1恰有一解，方程f(x)g(x)1恰有一解综上所
5、述，原方程有4个实根答案：48(2015湖南卷)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a0，则当xa时，f(x)x3，函数单调递增；当xa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点. 若0a1，则a3a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点. 若a1，则a3a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部
6、分所示，其与直线yb可能有两个公共点综上，a1.答案：(，0)(1，)三、解答题9已知函数f(x)(xR)满足f(x)，a0，f(1)1且使f(x)2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的表达式解析：f(x)，f(1)1，1.a2b1.又f(x)2x，即2x只有一个解，也就是2ax22(1b)x0(a0)只有一解2(1b)242a00，即(1b)20.得b1.a1.故f(x).10某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知ABBC，OABC，且ABBC2OA4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB，BC上，且
7、一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积解析：以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，由C(2，4)代入得：p，所以曲线段OC的方程为：yx2(x0，2)A(2，0)，B(2，4)，设P(x，x2)(x0，2)在OC上，过P作PQAB于Q，PNBC于N，故PQ2x，PN4x2，则矩形商业楼区的面积S(2x)(4x2)(x0，2)Sx32x24x8，令S3x24x40得x或x2(舍去)，当x时，S0，S是x的增函数，当x时，S0，S是x的减函数，所以当x时，S取得最大值，此时PQ2x，PN4x2，Smax(
8、km2)故该矩形商业楼区规划成长为 km，宽为 km时，用地面积最大为 km2.11近年来，猪肉价格上涨，养猪所得利润比原来有所增加某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍养殖生猪，由于地形限制，猪舍的宽x不少于5米，不多于a米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米需投入10元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米需投入15元，猪舍外面的四周墙壁每米需投入20元，中间四条隔墙每米需投入10元问：当猪舍的宽x定为多少时，该养殖户投入的资金最少？最少是多少元？解析：设该养殖户投入资金为y元，易知猪舍的长为米，y2001020015204x10805 000(5xa)，函数
9、f(x)x在5，10上单调递减，在10，)上单调递增，当a10时，ymin6 600，此时x10；当5a10时，ymin805 000，此时xa.若a10米，猪舍的宽定为10米，该养殖户投入的资金最少是6 600元；若5a10米，猪舍的宽就定为a米，该养殖户投入的资金最少是805 000元12直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于A，B两点，直线l过点P(2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围解析：由(x1)消去y，得(k21)x22kx20.因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程有两个不相等的负实数根所以解得1k.设M(x0，y0)，则由P(2，0)，M，Q(
10、0，b)三点共线，得出b，设f(k)2k2k22，则f(k)在(1，)上为减函数，f()f(k)f(1)，且f(k)0.(2)f(k)0或0f(k)1.b2或b2.b的取值范围是(，2)(2，)13若关于x的方程4xa2xa10有实数解，求实数a的取值范围解析：解法一令2xt(t0)，则原方程可化为t2ata10，(*)问题转化为方程(*)在(0，)上有实数解，求a的取值范围当方程(*)的根都在(0，)上时，可得下式即1a22，当方程(*)的根一个在(0，)上，另一根在(，0上时，令f(t)t2ata1得f(0)0，即a1.由知满足条件的a的取值范围为(，22解法二令t2x(t0)，则原方程可化为t2ata10.变形为a(22)22.当且仅当t1时取等号所以a的取值范围是(，22