1、天津市河西区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 数列1，的一个通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可知该数列是一个以1为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式.【详解】根据数列可知，该数列是一个以1为首项，为公比的等比数列，所以该数列的通项公式为.故选：D.2. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）A. 2.1B. 0.21C. 1.21D. 0.121【答案】A【解析】【分析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解
2、】，所以函数在区间上的平均变化率为.故选：A3. 已知数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据递推关系依次求出即可.【详解】，.故选：A.4. 记为等差数列的前项和，若，则的公差为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差【详解】设等差数列的公差为，则，联立，解得.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题5. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）A. 在上为减函数B. 在处取得最大值C. 在
3、上为减函数D. 在处取得最小值【答案】C【解析】分析：根据函数f（x）导函数f（x）的图象可知f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可详解：根据函数f（x）的导函数f（x）的图象可知：f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0当x0时，f（x）0，f（x）递增；当0x2时，f（x）0，f（x）递减；当2x4时，f（x）0，f（x）递增；当x4时，f（x）0，f（x）递减可知C正确，A错误；由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误故
4、选C点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f（x）0得增区间，由f（x）0得减区间，由f（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f（x）的符号是否发生改变.6. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出.【详解】设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，由题可得，解得，故塔的顶层的灯数是3.故选：C
5、.7. 函数的导数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由导数运算法则可求出.【详解】，.故选：B.8. 已知等比数列的首项为-1，前项和为，若，则公比（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式，可求得表达式，结合题干条件，即可求得q的值.【详解】当公比时，不满足题意，当时，所以，解得，故选：D9. 已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出函数与的图象,讨论交点个数可求出的取值范围.【详解】作出函数的图象,见下图.若与相切,求导得,设切点为,则,切线斜率为,
6、即切线方程为:,该切线过原点,则,解得,此时,显然与的图象只有一个交点,即方程只有一个实根;若,直线与的图象在时无交点,在时有2个交点,符合题意;若,直线与的图象在时有1个交点,在时有2个交点,不符合题意;若,直线与的图象在时有1个交点,在时无交点,不符合题意;若,直线与的图象至多有一个交点,不符合题意.所以只有符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.10. 在等差数列中，为其前项的和，若，则_.【答案】144【解析】【分
7、析】利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，.故答案为：144.11. 函数，其导函数为函数，则_.【答案】0【解析】【分析】根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，故答案：012. 已知数列通项公式，为其前项的和，则_.【答案】【解析】【分析】根据数列的通项公式，利用裂项相消法求解.【详解】因为数列的通项公式，所以，故答案：13. 函数的单调递增区间是_.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，令即可求出.【详解】，令，即，解得，的单调递增区间是.故答案为：.14. 已知数列通项公式为，前项和为，则取得最小
8、值时的值为_.【答案】8【解析】【分析】求出数列在n的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出.【详解】令，解得或，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以取得最小值时的值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查数列前n项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断的单调性.15. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积取得最大值时，的值为_.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得，可知该方盒的底面是一个边长为，则该方盒的容积，则当时，单调递增，当时，单调递减，当时，故当方盒的容
9、积取得最大值时，的值为1.故答案为：1.三解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知函数.（1）求的极值；（2）求在上的最值.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）最大值为4，最小值为.【解析】【分析】（1）求导，解对应的不等式，可得函数的单调性，从而可知函数的极值.（2）根据（1）的结果，再计算端点值，比较大小，即可得出最值.【详解】（1），令，解得或，当x变化时，的变化情况如下表：200极大值极小值故当时，取得极大值，；当时，取得极小值，；（2）由（1）可知的极大值为，极小值为，又，因为，所以在上的最大值为4，最小值为.【点睛】思路点睛：本题考
10、查利用导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：求函数在内的极值；将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值17. 已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出的导函数，由，可得答案.（2）求出的导函数，讨论出函数的单调性，得出其最小值，可证明.【详解】（1）解：，当时，又，所以切线方程为，即.（2）解：在区间上单调递增，又，故在区间上有唯一实根，且，当时，；当时，从而当时，取得最小值.由，得，故.【点睛】本题考查求函数在某点出的切线方程和利
11、用导数证明不等式.解答本题的关键是由在区间上单调递增，得出在区间上有唯一实根，从而得出的单调区，即，属于中档题.18. 对于数列，为数列是前项和，且，. （1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），;（2）【解析】试题分析: （1）先根据和项与通项关系，将条件转化为项之间递推关系：，再根据叠加法求数列的通项公式；而求通项公式，需变形构造一个等比数列，这是由于可变形得，然后通过求等比数列通项公式，转化求通项公式，（2）由于，所以利用错位相减法求和，求和时注意错位相减，减式中项的符号变化，合并时项数的确定，最后结果要除以 试题解析:（1）因为，所以，所以，所以数列的通项公式为，由，可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为（2）由（1）可得，所以 ， ，得，所以