1、习题课（三） 圆锥曲线与方程一、选择题1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A2BC D解析：选C由题可知yx与yx互相垂直，可得1，则ab.由离心率的计算公式，可得e22，e.2已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2解析：选A焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p24q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x，y，即p2x，q2y1，代入p24q得，(2x)24(2y1)，即x22y1.3已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为()A
2、B或C D解析：选B由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，k25.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|8，解得k或.4.如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A BC D解析：选D焦点F1(，0)，F2(，0)，在RtAF1F2中，|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|212，所以可解得|AF2|AF1|2，故a，所以双曲线的离心率e，选D.5(2019全国卷)已知F是
3、双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若|OP|OF|，则OPF的面积为()A BC D解析：选B由F是双曲线1的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则解得所以P，所以SOPF|OF|y03.6若过点A(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与椭圆E：y21都只有一个交点，且l1l2，则h的值为()A BC2 D解析：选A由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：ykxh，则由l1l2，知l2：yxh，将l1：ykxh代入y21得(kxh)21，即(12k2)x24khx2h220，由l1与椭圆E只有一个交点知16
4、k2h24(12k2)(2h22)0，即12k2h2.同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1h2，得k2，即k21，从而h212k23，即h.二、填空题7已知双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的方程为_解析：因为双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的方程为1.答案：18已知A(0，4)，B(3,2)，抛物线yx2上的点到直线AB的最短距离为_解析：直线AB为2xy40，设抛物线yx2上的点P(t，t2)，d.答案：9已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|MF|(O为坐标原点)，则_.解析：
5、不妨设M(m，)(m0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|MF|，所以解得m，p2，所以，所以2.答案：三、解答题10如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)直线x2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x2两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)抛物线x24y的焦点是(0，)，b.由，a2b2c2，得a2，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yxt，联立得x22tx2t240，
6、则x1x22t，x1x22t24.在1中，令x2，得P(2,1)，Q(2，1)四边形APBQ的面积SSAPQSBPQ|PQ|x2x1|2|x2x1|x2x1|.当t0时，Smax4.四边形APBQ面积的最大值为4.11已知经过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C.(1)当直线l的斜率是时，求抛物线G的方程；(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知得，直线l的方程为y(x4)，即x2y4. 由得2y2(8p)y80，则y1y2，y1y24，又因为，所以y2y1或y14y2.由p0得，y14，y21，p2，所以抛物线G的方程为x24y.(2)由题意知l的斜率存在设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0.所以x02k，y0k(x04)2k24k.所以BC的垂直平分线的方程为y2k24k(x2k)，所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b2k24k22(k1)2，对于方程由16k264k0得k0或k4.所以b(2，)所以b的取值范围为(2，)