1、3.3 导数的应用（二）一、选择题1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个 C3个 D4个答案A2若函数yf(x)可导，则“f(x)0有实根”是“f(x)有极值”的 ()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A3已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)解析f(x)3x22ax(a6)，因为函数有极大值和极小值，所以f(x)0有两个不相等的实数根，所以4
2、a243(a6)0，解得a3或a6.答案B4已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15C10 D15解析：求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案：A5函数yxex，x0,4的最小值为()A0 B.
3、C. D.解析yexxexex(x1)y与y随x变化情况如下：x0(0,1)1(1,4)4y0y0当x0时，函数yxex取到最小值0.答案A6设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()Aln2 Bln2C. D.解析 f(x)exaex，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f(0)0，故只能是a1.此时f(x)exex，设切点的横坐标是x0，则ex0ex0，即2(ex0)23ex020，即(ex02)(2ex01)0，只能是ex02，解得x0ln2.正确选项为A.答案 A 7设函数f(x)ax2b
4、xc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得ac.因选项A、B的函数为f(x)a(x1)2，则f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x0，且开口向下，a0，b0，f(1)2ab0，也满足条件；选项D中，对称轴x1，且开口向上，a0，b2a，f(1)2ab0，与图矛盾，故答案选D.答案D二、填空题8已知f(x)2x36x23，对任意的x2,2都有f(x)a，则a的取值范围为_解析：由f(x)6x212x0，得
5、x0，或x2.又f(2)37，f(0)3，f(2)5，f(x)max3，又f(x)a，a3.答案：3，)9函数f(x)x22ln x的最小值为_解析由f(x)2x0，得x21.又x0，所以x1.因为0x1时，f(x)0，x1时f(x)0，所以当x1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)1.答案110若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围_解析f(x)3x26ax3(a2)，由已知条件0，即36a236(a2)0，解得a2.答案(，1)(2，)11设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_解析(构造法)
6、若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0，即x1,0)时，同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4.答案4【点评】 本题考查了分类讨论思想构造函数，同时利用导数的知识来解决.12已知函数f(x)的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间若g(x)xmlnx的保值区间是2，)，则m的值为_解析 g(x)1，当x2时，函数g(x)为增函数，因此g(x)的
7、值域为2mln2，)，因此2mln22，故mln2.答案 ln2三、解答题13已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值解析(1)由f(x)随x变化的情况x(，1)1(1,2)2(2，)f(x)00可知当x1时f(x)取到极大值5，则x01(2)f(x)3ax22bxc，a0由已知条件x1，x2为方程3ax22bxc0，的两根，因此解得a2，b9，c12.14已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，
8、c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解析：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0.当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由解得a2，b4.由于切点的横坐标为x1，f(1)4，1abc4，c5.a2，b4，c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4，令f(x)0，得x12，x2.当x变化时，y、y的取值及变化如下表：x3(3，2)21y00y8单调递增13单调递减单调递增4yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.15设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递
9、增区间，求a的取值范围；(2)当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值解析(1)由f(x)x2x2a22a，当x时，f(x)的最大值为f2a；令2a0，得a.所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围是(2)令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)，又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a.得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为
10、f(2).16设函数f(x)xaln x(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由思路分析先求导，通分后发现f(x)的符号与a有关，应对a进行分类，依据方程的判别式来分类解析(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)1.令g(x)x2ax1，其判别式a24.当|a|2时，0，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根都小于0.在(0，)上，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x
11、)0的两根为x1，x2.当0xx1时，f(x)0，当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减(2)由(1)知，a2.因为f(x1)f(x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)，所以，k1a.又由(1)知，x1x21，于是k2a.若存在a，使得k2a，则1.即ln x1ln x2x1x2.由x1x21得x22ln x20(x21)(*)再由(1)知，函数h(t)t2ln t在(0，)上单调递增，而x21，所以x22ln x212 ln 10.这与(*)式矛盾故不存在a，使得k2a.【点评】 本题充分体现了分类讨论思想.近几年新课标高考常考查含参数的导数问题，难度中等偏上，考生最容易失分的就是对参数的分类标准把握不准，导致分类不全等