1、第二讲 数列求和及综合应用配套作业一、选择题1.已知等差数列an前n项和为Sn，若a1a2 0121，a2 0131 006，则使Sn取最值时n的值为（D）A.1 005 B.1 006C.1 007 D.1 006或1 0072.设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a3a76，则当Sn取最小值时，n（D）A.9 B.8 C.7 D.63.等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是（C）A.T10 B.T13 C.T17 D.T25解析：a3a6a18a1q2a1q5a1q17（a1q8）3（a9）3为定值.T
2、17a1a2a17（a1q8）17（a9）17也是定值.4.已知等比数列an满足an0，n1，2，且a5a2n522n（n3），则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1（C）A.n（2n1） B.（n1）2C.n2 D.（n1）2解析：由a5a2n522n（n3）得a22n，an0，则an2n，log2a1log2a3log2a2n113（2n1）n2.故选C.5.公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项， S832，则S10（C）A.18 B.24 C.60 D.90解析：由aa3a7，得（a13d）2（a12d）（a16d），得2a13d0，再由S
3、88a1d32，得2a17d8，则d2，a13，所以S1010a1d60.故选C.6.已知函数f（x）把函数g（x）f（x）x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（B）A.an B.ann1C.ann（n1） D.an2n2解析：若0x1，则1x10，得f（x）f（x1）12x1， 若1x2，则0x11，得f（x）f（x1）12x21，若2x3，则1x12，得f（x）f（x1）12x32，若3x4，则2x13，得f（x）f（x1）12x43.以此类推，若nxn1（其中nN），则f（x）f（x1）12xn1n， 下面分析函数f（x）2x的图象与直线yx1的交点.很显然，它们
4、有两个交点（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点.将函数f（x）2x和yx1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）2x1和yx的图象，取x0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）.即当x0时，方程f（x）x0有且仅有一个根x0.取中函数f（x）2x1和yx图象1x0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）2x1和yx在0x1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）.即当0x1时，方程f（x）x0有且仅有一个根x1.取中函数f（x）2x1和yx在0x1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）2x21和yx在1
5、x2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）.即当10时，由（1）知， a11，a22；当n2时，有（2）anS2Sn，（2）an1S2Sn1.两式相减得（1）an（2）an1.所以anan1（n2）.所以ana1（）n1（1）（）n1.令bnlg，则bn1lg（）n1lg.又b11，bnbn1lg 2，所以数列bn是以1为首项，lg 2为公差，且单调递减的等差数列.则b1b2b7lglg 10.当n8时，bnb8lg lg 10.所以，n7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T77lg 2.10.（2015北京卷）已知数列an满足：a1N*，a136，且an1（n1，2，）.记集合
6、Man|nN*.（1）若a16，写出集合M的所有元素；（2）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M的元素个数的最大值.解析：（1）M6，12，24.（2）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数.由an1可归纳证明对任意nk，an是3的倍数.如果k1，则M的所有元素都是3的倍数.如果k1，因为ak2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数.类似可得，ak2，a1都是3的倍数.从而对任意n1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数.（3）由a136，an可归纳证明an36（n2，3，）.因为a1是正整数，a2所以a2是2的倍数.从而当n3时，an是2的倍数.如果a1是3的倍数，由（2）知对所有正整数n，an是3的倍数.因此当n3时，an12，24，36，这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数，由（2）知对所有正整数n，an不是3的倍数.因此当n3时，an4，8，16，20，28，32，这时M的元素个数不超过8.当a11时，M1，2，4，8，16，20，28，32有8个元素.综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.