1、 第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，为整数集，则集合中元素的个数是（ ）A 3 B 4 C 5 D62.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限3.设，向量，且，则（ ）A B C 10 D4.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第层楼时，环境不满意度为，则同学们认
2、为最适宜的教室应在（ ）楼A 2 B 3 C. 4 D85.函数的值域为（ ）A B C. D6.如图1所示的程序框图，若，输入，则输出的（ ）A 2016 B 2017 C. D7.在中，所对的边分别是，且，则的值为（ ）A B C. D8.函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）A B C. D9.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（ ）A 50 B50.5 C. 51.5 D6010.用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ）A B C. D11.设双曲线的右焦点为
3、，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A B C. 3 D212.对于函数，设，（且），令集合，则集合为（ ）A空集 B实数集 C. 单元素集 D二元素集第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，且满足，则的最大值等于 14.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则实数的值是 15.已知数列为等比数列，是它的前项和，设，若，且与的等差中项为，则 16.若，且，则下列关系式：；.其中正确的序号是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过
4、程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列中，.（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求的前项和.18. （本小题满分12分）如图3所示的三棱台中，平面，.（1）证明：平面；（2）若点为中点，求二面角的余弦值.19. （本小题满分12分）如图4所示，小波从街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是.（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与街区相距的街道数为（如小波若处在
5、街区则相距零个街区，处在街区都是相距2个街道），求的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知抛物线过点，为抛物线的准线与轴的交点，若.（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上任取一点，过点作两条直线分别与抛物线另外相交于点和点，连接，若直线的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为，求证：.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，都有恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程：（为参数），曲线上的点对应的参数，以坐标原点为极点，以轴
6、正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标是，直线过点，且与曲线交于不同的两点.（1）求曲线的普通方程；（2）求的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数的最小值为.（1）求；（2）已知是正实数，且满足，求的最小值.试卷答案第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBABDCBADCDB【解析】1由题意，知，故中元素的个数为5，故选C2因为，故复数对应的点位于第二象限，故选B5因为，的值域为，故选D6当x=2016时，所以f(x)g(x)，所以，故选C7，再由余弦定理得：，由，将其角化边得，将代入得
7、：，左右两边同除以c2，解得：或（舍），故选B8由于在解集内，所以，在解集内递增，令，而，所以在点处，与的切线斜率关系为，在解集内都递增且交点为，所以，不等式的解集是，故选A9由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）截取得到的在长方体中分析还原，如图1所示，故几何体ABCA1PC1的表面积为60，故选D10设圆柱的高为x，则其内接矩形的一边长x，那么另一边长为，圆柱的体积，列表如下：x+0当x=时，此圆柱体积最大，那么另一边长为，所以，圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为=，故选C11双曲线的渐近线为：，设焦点F(c，0)，点
8、A的纵坐标大于零，则，因为，所以，所以，解得：，又由，得：，解得，所以，故选D12，故以4为周期，集合M为实数集，故选B第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案15【解析】13不等式组所表示的平面区域如图2阴影所示，作：，平移至点位置时，z取得最大值，即 14如图3，圆的半径为，圆上有且仅有3个点到直线12x5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点(0，0)到直线12x5y+c=0的距离等于，即15由，又得，所以，所以.，16令，则是偶函数，当x时，0，f(x)为单调减函数，当x时，0，此时f(x)为单调增函数，所以，即，所以，即应
9、填入三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（）当时，又，故是以2为首项，3为公差的等差数列， （5分）（），令，则得： ， （12分）18（本小题满分12分）（）证明：如图4，过点作，故为等腰直角三角形，又平面ABC，又，且，平面，又，平面 （6分）（）解：如图，建立空间直角坐标系Axyz，.由（）知，平面的一个法向量为设平面ABD的一个法向量为，则即令则，故二面角的余弦值为 （12分）19（本小题满分12分）解：（）设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，即四次遇到的红绿灯情况分别为红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红，
10、故 （5分）（）可能的取值为0，1，2，3，故分布列为0123P （12分）20（本小题满分12分）（）解：，代入解得：或（舍去），所以抛物线的方程为 （4分）（）证明：设点，因为点在抛物线上，所以，故直线的方程为：联立： 得此方程的两个根分别为，所以，同理可得，化简得故， （12分）21（本小题满分12分）解：（）若，则在上单调递增，在(a，2)上单调递减；若，则在(，)上单调递增；若，则在上单调递增，在上单调递减（5分）（）由（）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 恒成立，即恒成立即恒成立，令，易知在其定义域上有最大值所以， （12分）22（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】解：（）将点和代入曲线的参数方程：中得，所以，所以曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为 （4分）（）点的直角坐标是()，设直线的参数方程： (t为参数)，代入到曲线的方程，得到，令，得设点，分别对应参数，则，由韦达定理可得到，因为，所以，所以的取值范围为 （10分）23（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】解：（）当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，的最小值为1，即 （5分）（）由（）知，又，是正实数，由柯西不等式可知，即，当且仅当时等号成立 （10分）