1、1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1下面四个条件中,能确定一个平面的条件是()A.空间任意三点B.空间两条直线C.两条平行线D.一条直线和一个点答案：C2经过同一直线上的三个点,可以作平面()A.1个B.2个C.3个D.无数个答案：D3下列图形中,满足=AB,a,b,aAB,bAB的图形是()解析：可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断.答案：C4下列四种叙述:空间四点共面,则其中必有三点共线;空间四点不共面,则其中任何三点不共线;空间四点中有三点共线,则此四点必共面;空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确叙述的序号是()A.B.C.D.解析：因
2、为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以错;因为三点不共线但四点可以共面,所以错.答案：B5如果平面和平面有三个公共点A,B,C,那么平面和平面的位置关系为()A.平面和平面只能重合B.平面和平面只能交于过A,B,C三点的一条直线C.如果点A,B,C不共线,则平面和平面重合;如果点A,B,C共线,则平面和平面重合或相交于过点A,B,C的一条直线D.以上都不对解析：应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.答案：C6在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.
3、有且只有三条D.有无数条解析：如图所示,在A1D1上任取一点P.过点P与直线EF作一个平面.因为CD与平面不平行,所以它们相交.设CD=Q.连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由P点的任意性知,有无数条直线与A1D1,EF,CD都相交.由于点P是任取的一点,则有无数条,故选D.答案：D7已知点A,直线a,平面,Aa,aA;Aa,aA;Aa,aA.以上命题中正确的个数为.解析：中“a”符号不对;中A可以在内,也可以在外,故不正确;中“A”符号不对.答案：08有下列命题:空间三点确定一个平面;有3个公共点的两个平面必重合;空间两两相交的三条直线确定一个平面;等腰三角形是平面图形;垂直
4、于同一直线的两条直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交.其中正确命题的序号是.解析：由平面的基本性质2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时).中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.因为在正方体ABCD-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错.因为在正方体ABCD-ABCD中,ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错.答案：9两条异面直线在同一个平面内的正投影是.解析：要判断两异面直线在同一平
5、面内的正投影的情况,即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形,如图可知正投影是两条相交直线;如图可知正投影是两条平行直线;如图可知正投影是一个点和一条直线.答案：两条相交直线或两条平行直线或一个点和一条直线10已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.分析：四条直线两两相交且不过同一点,又可分成两种情况:一是有三条直线共点;二是任何三条直线都不共点.因而本题需分类后进行各自的证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.证明(1)有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于点N,P,M,且Ka.因为Ka,所以K和
6、a确定一个平面,设为.因为Na,a,所以N,所以NK,即b.同理,c,d,所以a,b,c,d共面. (2)无三线共点情况,如图.设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S. 因为ad=M,所以a,d可确定一个平面.因为Nd,Qa,所以N,Q.所以NQ,即b.同理,c.所以a,b,c,d共面.由(1)(2)知a,b,c,d共面. 11如图,已知平面,且=l.设在梯形ABCD中,ADBC,且AB,CD,求证:AB,CD,l共点(相交于一点).证明在梯形ABCD中,ADBC,AB,CD是梯形ABCD的两腰,AB,CD必相交于一点.设ABCD=M,又AB,CD,M,M,M在与的交线上
7、.又=l,Ml,即AB,CD,l共点.12正方体是常见的并且重要的多面体,对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是所在棱的中点,请思考并回答下列问题:(1)直线EF,GH,DC能交于一点吗?(2)若E,F,G,H四点共面,怎样才能画出过四点E,F,G,H的平面与正方体的截面?(3)若正方体的棱长为a,那么(2)中的截面面积是多少?分析：: (1)要证三线共点,可先证两条直线共点,然后证明另一条直线也通过这一点.(2)作截面的关键在于作出截面与各个侧面的交线(或者是作出截面与正方体的各棱的交点),而要确定两个平面的交线
8、,要找到同时在两个平面上的至少两个点.解(1)如图,能交于一点.理由如下:因为E,F分别为棱AB,BC的中点,易得E,F平面ABCD,且EF与CD相交,设交点为P.由EBFPCF,可得PC=BE= 12AB.同理,GH与CD相交,设交点为P1,同样可得P1C=C1G=12C1D1=12AB.所以P1与P重合,因此直线EF,GH,DC能交于一点.(2)如图,延长HG,DD1,相交于点R,延长FE交DA的延长线于点Q,则点R,Q是截面与侧面ADD1A1的公共点,连接RQ与A1D1,A1A分别交于点M,T,连接GM,TE,可得截面与正方体各面的交线分别为EF,FH,HG,GM,MT,TE.截面如图中的阴影部分.(3)截面为正六边形,其面积为63422a2=334a2.