1、北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2. 已知向量，.若，则实数的值为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】分析】由向量平行的坐标表示求解即可.【详解】，解得故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值，属于基础题.3. 在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域，即可得出答案
2、.【详解】对A项，令，定义域为，则函数为奇函数，故A错误；对B项，令，定义域为，则函数为偶函数，故B正确；对C项，令，则函数不是偶函数，故C错误；对D项，定义域为，故D错误；故选：B【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题.4. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列5. 为得到的图象，只需要将的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向
3、右平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D考点：三角函数的图像变换6. 在中，则的面积为（ ）A. 10B. 15C. 20D. 30【答案】B【解析】【分析】先求出，再求出，最后求的面积即可.【详解】解：在中，由正弦定理：，因为，所以，因为，所以，故选：B.【点睛】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系、是中档题.7. 已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导，分别对，分类讨论，确定的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案.【详解】当时，即函数在区间上单
4、调递增，不符合题意当时，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增要使得函数在区间上不是单调函数，则解得故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.8. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用函数的零点转化成方程的根、函数图像的交点问题，再数形结合即得结果.【详解】由函数有两个零点，即方程有两个根，即函数与有两个交点，作图如下：恒过，旋转过程中，在直线和之间时有两个交点，故.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根、函数图像的交点之间的等价转化，考查了数形结合思想，属于中档题.9. 在中，点在边上
5、，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以的中点为原点，过垂直于的直线为轴，为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解.【详解】以的中点为原点，过垂直于的直线为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图： 则，设，则由，得，化简，所以，由，因为，所以，所以，所以的取值范围为.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10. 已知集合满足：（），；（），若且，则；（），若且，则.给出以下命题：若集合中没有最大数，则集合中有最小数；若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数
6、；若集合中有最大数，则集合中没有最小数；若集合中有最大数，则集合中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据并集和交集的结果可知；由条件（）（）可知两集合的元素以为分界，可确定集合的构成；当集合有最大数时，根据有理数的特点可知大于的有理数无最小数，知正确；当集合无最大数时，若中的为有理数或无理数，此时集合可能最小数为或无最小数，知正确.【详解】若， 则集合为所有小于等于的有理数的集合，集合为所有大于等于的有理数的集合 无限接近，即集合为所有大于的有理数的集合当集合有最大数，即有最大值时，大于的有理数无最小数，可知正确；当集合无最大数，即
7、时，为集合中的最小数；也可能为无理数，则，集合中无最小数，可知正确故选【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.二填空题11. 已知复数，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数的模长的定义直接进行计算即可.【详解】复数，.故答案为：.【点睛】本题考查复数的模的概念及求法，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为12. 设是等差数列，且，则的通项公式为_【答
8、案】【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列的公差为，【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.13. 已知向量、的夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积计算得出的值，进而可求得的值.【详解】，因此，.故答案：.【点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利
9、用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14. 已知函数（为常数）若，则_；若函数存在最大值，则的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下求得，利用求得；（2）当时，求导得；当时，可知时，不存在最大值，不符合题意；当时，可得在上的单调性，得到；分别在、和三种情况下验证时函数的最大值，可得时，从而得到结果.【详解】（1）当时，满足题意；当时，不合题意；（2）当时， 若，则 在上单调递减此时，当时，当时，不合题意若，则时，；时，在上单调递增，在上单
10、调递减 此时，当时，若，则当时，不合题意若，此时，满足题意若，则，此时，满足题意综上所述：时，存在最大值故答案为；【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.15. 年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满
11、足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到年之间（参考数据：）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）根据衰变规律，令，代入求得；（2）令，解方程求得即可.【详解】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的令，则 良渚古城存在的时期距今约在年到年之间故答案为；【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.三解答题16. 已知等差数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，且公比为q，从；这三个条件中任选一个作为题目的已
12、知条件，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的d，根据求和公式可得，又，即可得解； （2）根据为等差数列，为等比数列，则：，分组求和即可得解.【详解】（1）设等差数列的公差为d，又因为，且，所以，故，所以；（2）由（1）可知，又，所以.若选择条件，可得，； 若选择条件，可得，； 若选择条件，可得，.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法，有一定的计算量，属于中档题.17. 在中，.（1）求大小；（2）若是的中点，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用正弦定理
13、即可求解.（2）利用余弦定理可得，由，再利用向量模的求解即可求解.【详解】解：（1）在中，由正弦定理，可得，又，可得为锐角，.（2）在中，由余弦定理，可得，可得：，解得或(舍去)，是的中点，两边平方可得：，即的长为.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）对于任意都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；（2）利用整体代入法求得函数的单调递增区间；（3）原问题等价于的最大
14、值小于零，根据在区间上的最大值列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）因为，.所以的最小正周期.（2）由（1）知.又函数的单调递增区间为(Z).由，得，.所以的单调递增区间为. （3）因为，所以.所以.所以.当，即时，的最大值为，又因为对于任意恒成立，所以，即.所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间、最值的求法，属于中档题.19. 设函数（）若，求函数的单调区间（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围（）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为【答案】（）单调减区间为，单调增区间为（）（）见解析【解析】试题分析：（1）当时，求出函
15、数的导函数，分别令和，解出不等式得单调区间；（2）函数在区间上是减函数，即对任意恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为，对函数进行求导，根据导数的几何意义得，根据切线过原点，可得斜率为，两者相等化简可得，先证存在性，再通过单调性证明唯一性.试题解析：（）当时，令，则，令，则，函数的单调减区间为，单调增区间为（），在区间上是减函数，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，易知在上单调递减，（）设切点为，切线的斜率，又切线过原点，即，存在性，满足方程，所以是方程的根唯一性，设，则，在上单调递增，且，方程有唯一解，综上，过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为点睛：本题主要考察了导数与函数
16、单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由，得函数单调递增，得函数单调递减；函数单调递减等价于恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.20. 已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，证明：；（）判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由【答案】（）；（）证明见解析；（）函数在定义域内不是单调函数理由见解析【解析】【分析】根据解析式可确定函数定义域并求得（）求得和，根据导数几何意义可知切线斜率，从而得到切线方程；（）将所证不等式转化为；令，通过导数求得函数单调性，可得，即，从而证得结论；（）令
17、，通过导数可知单调递减；利用零点存在定理可知在内存在零点，从而得到的符号，进而得到单调性，说明不是单调函数.【详解】由题意得：函数的定义域为，（），在点处的切线方程为：即（）当时，欲证，即证，即证令，则当变化时，变化情况如下表：极大值函数的最大值为，故（）函数在定义域内不是单调函数理由如下：令， 在上单调递减，存在，使得当时，从而，所以函数在上单调递增；当时，从而，所以函数在上单调递减故函数在定义域内不是单调函数【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函
18、数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间.21. 已知无穷数列满足：，记（表示个实数中的最大值）（）若，求，的可能值；（）若，求满足的的所有值；（）设是非零整数，且互不相等，证明：存在正整数，使得数列中有且只有一个数列自第项起各项均为【答案】（）或或或；（）所有取值是；（）证明见解析【解析】【分析】（）依次代入，即可求得，根据可确定和的取值，从而得到结果；（）记，可表示出，进而得到，分别在、和三种情况下利用求得的取值即可得到结果；（）假设对任意正整数，都不为，由可证得，得到严格单调递减；可知必存在正整数，使得，与矛盾，从而中至少有一个为；设，可知，则，依次类推可得对，且，从而证得结论
19、.【详解】（）由得： 由得： 又，故，的所有可能值为或或或（）若，记，则，当时，由得：，不符合；当时， 由得：，符合；当时， 由得：，符合；综上所述：的所有取值是.（）先证明“存在正整数，使中至少有一个为”假设对任意正整数，都不为由是非零整数，且互不相等得：，若对任意，都不为，则即对任意，当时， 严格单调递减为有限正整数 必存在正整数，使得，矛盾存在正整数，使中至少有一个为不妨设，且，则，且，否则，由，必有，矛盾，且，依次递推，即有：对，且此时有且仅有一个数列自第项起各项均为综上，结论成立【点睛】本题考查数列中的新定义运算问题的求解，涉及到根据递推关系求解数列中的项、数列证明问题中的存在性与唯一性问题的证明；证明有且仅有一个数列满足题意的关键是能够首先证明存在性，即存在数列数列满足题意，再证明唯一性，即满足题意的数列有唯一的一个；本题对学生分析和推理能力有较高的要求，属于难题.