1、第一部分一4 一、选择题1若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A.B.C. D.答案C解析令f(x)xx，f(1)10，f0，f0，f(x)在区间内有零点2利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y30x4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A240B200C180D160答案B解析依题意得每吨的成本是30，则23010，当且仅当，即x200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t，选B.3(文)(2014山东理，8)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根
2、，则实数k的取值范围是()A(0，)B(，1)C(1,2)D(2，)答案B解析作出函数yf(x)的图象如图，当ykx在l1位置时，过A(2,1)，k，在l2位置时与l3平行，k1，k1.(理)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f (x)是f(x)的导函数当x0，时，0f(x)0.则函数yf(x)sinx在2，2上的零点个数为()A2B4C5D8答案B分析函数yf(x)sinx的零点转化函数f(x)yf(x)与ysinx图象交点f(x)的范围确定f (x)的正负(x)f (x)0.解析(x)f (x)0，x(0，)且x，当0x时，f (x)0，f(x)在(0，)上单调递减当x0
3、，f(x)在(，)上单调递增当x0，时，0f(x)1.当x，2时，02x.又f(x)是以2为最小正周期的偶函数，知f(2x)f(x)x，2时，仍有0f(x)1.依题意及yf(x)与ysinx的性质，在同一坐标系内作出yf(x)与ysinx的简图则yf(x)与ysinx在x2，2内有4个交点故函数yf(x)sinx在2，2内有4个零点4已知a、b1,1，则函数f(x)axb在区间(1,2)上存在一个零点的概率为()A. B.C. D.答案C解析如图，由图形可知点(a，b)所在区域的面积S4，满足函数f(x)axb在区间(1,2)上存在一个零点的点(a，b)所在区域面积S12，故所求概率P.5(2
4、015天津理，8)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析考查求函数解析式；函数与方程及数形结合的思想由f(x)得f(2x)所以yf(x)f(2x)即yf(x)f(2x) yf(x)g(x)f(x)f(2x)b，所以yf(x)g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不同的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个公共点，由图象可知b2. 6(文)已知函数f(x)，x1、x2、x3、x4、x5是方程f(x)m的五个不等的实数根，则x1x2x3x4x5的取值范围是()A(
5、0，)B(，)C(lg ，1)D(，10)答案D解析在同一坐标系中作出函数yf(x)的图象与直线ym，设两图象交点横坐标从左向右依次为x1、x2、x3、x4、x5，由对称性知x1x2，x3x4，又x510，x1x2x3x4x5(，10)(理)(2014百校联考)已知f(x)1x，g(x)1x，设函数F(x)f(x3)g(x4)，且F(x)的零点均在区间a，b(a0，f(1)110，当x0时，f(x)0，f(x)0在R上恒成立，f(x)在R上为增函数，又f(1)f(0)0，g(2)120时，g(x)1xx2x3x20120，g(x)单调递减，g(x)也只有一个零点，记为x2，x2(1,2)，F(
6、x)f(x3)g(x4)有两个不同零点x3、x4，x3(4，3)，x4(5,6)，又F(x)的零点均在区间a，b内，且ab，bZ，当a4，b6时，ba取最小值10.方法点拨1.求f(x)的零点值时，直接令f(x)0解方程，当f(x)为分段函数时，要分段列方程组求解；2已知f(x)在区间a，b上单调且有零点时，利用f(a)f(b)0，则a的取值范围为()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)答案C解析f (x)3ax26x3x(ax2)，若a0，则f(x)在(，0)和(，)上单调递增，在(0，)上单调递减，又f(0)1，f(x)不可能存在唯一零点；由选项知a0不必考虑；a0，应有极小值f()0
7、，即a()33()210，a0时，y可正可负，对应第三个图；yx|cosx|为奇函数，且x0时，y0，对应第四个图；yx2x为增函数，对应第二个图，故选A.8已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x1)为奇函数，f(0)0，当x(0,1时，f(x)log2x，则在(8,10)内满足方程f(x)1f(1)的实数x为()A.B9C. D.答案C解析由条件知f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，在式中给x赋值x1得f(x)f(x2)，将代入得f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，f(x)的周期为4.在中令x0得f(1)0，方程f(x)1f(1)，化为f(x)1，由于f(x)的图象关于点(1,
8、0)对称，当0x1时，f(x)log2x0，当1x0，令f(x)1，(0x1)得x，即f()1，f()f(8)f()1，故选C.9(文)已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x3，且当x3时，f(x)2x3.若函数f(x)在区间(k1，k)(kZ)上有零点，则k的值为()A2或7B2或8C1或7D1或8答案A解析f(1)10，f(x)在(1,2)上有零点，又f(x)的图象关于直线x3对称，f(x)在(8，7)上有零点，k2或7.(理)(2015长沙一模)使得函数f(x)x2x(axb)的值域为a，b(ab)的实数对(a，b)有()A1对B2对C3对D无数对答案B解析配方得f(x)(x2)2，当
9、a2时，函数f(x)在区间a，b上为单调增函数，故有即a，b是方程f(x)x的两根，方程化简得x29x70，易知方程不可能存在两个不小于2的实根；当b2时，函数f(x)在区间a，b上为单调递减函数，故有即消元化简得a2a20，a2或a1，代入原方程组解得满足条件的解为即实数对(2,1)满足条件；当a2b时，若存在实数对(a，b)满足条件，必有af(x)min，故当2bBaCa0时，f(x)没有零点当x0时，f (x)x24，令f (x)0得x2，所以f(x)在(0,2)上递减，在(2，)上递增，因此f(x)在x2处取得极小值f(2)a0，解得a.故选A.(理)已知定义域为(1,1的函数f(x)
10、，对任意x(1,0，f(x1)，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1内g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围是()A0，)B，)C0，)D(0，答案D解析x(1,0时，x1(0,1，又x0,1时，f(x)x，f(x1)x1，又f(x1)，x(1,0时，f(x)1，作出函数f(x)的图象，由于ym(x1)过定点(1,0)，要使ym(x1)与yf(x)的图象有两个交点，应有0m，选D.11(文)如果函数y|x|2的图象与曲线C：x2y24恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是()A1,1)B1,0C(，10,1)D1,0(1，)答案A解析y当1时，曲线C与圆x2y24有三个
11、不同公共点，当01时，不满足；当0时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，其渐近线斜率k，由题意应有1，10，综上知11.(理)已知函数f(x)若方程f(x)t(tR)有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，则x1x2x3x4的取值范围为()A(30,34)B(30,36)C(32,34)D(32,36)答案C解析设四个实数根满足x1x2x3x4，则易知0t2，x12t，x22t，由(x6)22t得x6，x6，x36，x46，x1x2x3x42t2t6636(2t)34t(32,34)，故选C.12(2015石家庄市质检)函数f(x)若f(x0)，则x0的取值范围是()A(log2，)B(0，lo
12、g2，)C0，log2，2D(log2，1)，2答案C解析利用分段函数建立不等式组求解f(x0)或解得0x0log2或x02，故选C.二、填空题13已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x(0，)时，f(x)sinx，则函数f(x)在区间0,6上的零点个数是_答案7解析易知在(，)内，有f(1)0，f(0)0，f(1)0，即f(x)在一个周期内有3个零点，又区间0,6包含f(x)的2个周期，而两端点都是f(x)的零点，故f(x)在0,6内有7个零点14设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)若x0所在的区间是(n，n1)(nZ)，则n_.答案1解析由函数
13、图象知，1x02，n1.15(文)函数f(x)对一切实数x都满足f(x)f(x)，并且方程f(x)0有三个实根，则这三个实根的和为_答案解析函数图象关于直线x对称，方程f(x)0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x对称，其和为1，故方程f(x)0的三个实根之和为.(理)已知f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足2a3,3b2，则n等于_答案1解析2a3,3b2，alog23，blog32，f(1)a11blog321log3210，f(x)在(1,0)内存在零点，又f(x)为增函数，f(x)在(1,0)内只有一个零点，n1.三、解答题16(文)设函数f(x
14、)x3x2axa，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)0在(0,2)内恰有两个实数根，求a的取值范围；(3)当a1时，设函数f(x)在t，t3(t(3，2)上的最大值为H(t)，最小值为h(t)，记g(t)H(t)h(t)，求函数g(t)的最小值解析(1)f (x)x2(a1)xa(xa)(x1)，令f (x)0得，x11，x2a0，f(1)0，解得0a，所以a的取值范围是(0，)(3)当a1时，f(x)x3x1，由(1)知f(x)在(3，1)上单调递增，(1,1)上单调递减所以，当t3，2时，t30,1，1t，t3，所以f(x)在t，1上单调递增，1，t3上单调递减
15、，因此，f(x)在t，t3上的最大值H(t)f(1)，而最小值h(t)为f(t)与f(t3)中的较小者f(t3)f(t)3(t1)(t2)，当t3，2时，f(t)f(t3)，故h(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)，而f(t)在3，2上单调递增，因此f(t)f(2)，所以g(t)在3，2上的最小值为g(2).即函数g(x)在区间3，2上的最小值为.(理)已知函数f(x)lnxax2bx(其中a、b为常数且a0)在x1处取得极值(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e上的最大值为1，求a的值解析(1)因为f(x)lnxax2bx，所以f (x)2axb.因为函数f
16、(x)lnxax2bx在x1处取得极值，f (1)12ab0.当a1时，b3，f (x)，f (x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间为(0，)和(1，)，单调递减区间为(，1)(2)因为f (x)，令f (x)0得，x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11，当0时，x20，当1时，f(x)在(0，)上单调递增，(，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最大值1可能在x或xe处取得，而f()lna()2(2a1)ln10，所以f(e)lneae2(2a1)e1，解得a；当1e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1，)上单调递减，(，e)上单调递增，所以最大值1可能在x1或xe处取得，而f(1)ln1a(2a1)0，所以f(e)lneae2(2a1)e1，解得a，与1x2e矛盾；当x2e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x1处取得，而f(1)ln1a(2a1)0，矛盾综上所述，a或a2.