1、54.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性教材要点要点一周期函数1周期函数条件对于函数f(x)，存在一个_常数T当x取定义域内的每一个值时，都有_结论函数f(x)叫做_，_叫做这个函数的_2.最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_结论这个最小_叫做f(x)的最小正周期关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)C，对于任意非零常数T，都有f(xT)f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期(2)对于函数yA sin (x)B，yA cos (x)B，可以利用公式T求最小正周期要点二正弦、余弦函数的周
2、期性、奇偶性与对称性函数ysin xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期2_奇偶性_函数_函数对称性对称轴：xk，kZ对称中心：(k，0)，kZ对称轴：xk，kZ对称中心：，kZ(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0，0)对称，余弦曲线关于y轴对称(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)因为sin sin ，所以是函数ysin x的周期()(2)每一个函数都是周期函数()(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ且n0)也是f(x)的周期()(4)正(余)
3、弦曲线的对称轴是过对应曲线的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是曲线与x轴的交点()2下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos 4x3函数f(x)sin (x)的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数4函数f(x)sin x cos x是_函数(填“奇”或“偶”)求三角函数的周期例1求下列函数的周期(1)y2sin ，xR；(2)y12cos ，xR；(3)y|sin x|，xR.方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(xT)f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数(2)
4、公式法：对形如yA sin (x)和yA cos (x)(其中A，是常数，且A0，0)，可利用T来求(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法跟踪训练1(1)函数f(x)|cos 2x|的周期是()A BC2 D4(2)ysin 的周期是_三角函数奇偶性的有关问题角度1三角函数奇偶性的判断例2(1)下列函数中是偶函数的是()Aysin 2x Bysin xCysin |x| Dysin x1(2)判断下列函数的奇偶性f(x)sin ；f(x).方法归纳判断函数奇偶性的两个关键点(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(x)与f(x)的
5、关系对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断跟踪训练2函数f(x)|sin x|cos x是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数角度2三角函数的对称性例3(1)(多选)下列函数中，其图象关于x对称的是()Aysin Bysin Cycos Dycos (2)函数ysin 的一个对称中心是()A BC D方法归纳对于函数ysin (x)与ycos (x)的图象对称性，应将x看成一个整体，利用整体代入思想，令x等于k或k(kZ)，解出的x值即为对称中心的横坐标(纵坐标为0)或对称轴与x轴交点的横坐标跟踪训练3(1)函数f(x)cos 是()A奇函数
6、 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数(2)已知函数f(x)sin (2x)的图象关于直线x对称，则的值可能是()A BC D函数的奇偶性与周期性的综合应用例4(1)(多选)已知函数f(x)sin 是奇函数，则的值可以是()A0 BC D(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，求f的值变式探究本例(2)中，把条件“偶函数”改为“奇函数”，其它条件不变，结果如何？方法归纳(1)已知三角函数的奇偶性求参数范围问题一般利用三角函数的图象特征较简单(2)利用三角函数的奇偶性与周期性求函数值一般要把自变量转化到已知表达式的
7、区间上求值跟踪训练4(1)(多选)关于函数yf(x)cos 2x的图象，下列说法正确的是()Ayf(x)是奇函数Byf(x)的周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称Dyf(x)的图象关于点对称(2)若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值判断三角函数的奇偶性时忽略定义域致误例5函数f(x)是()A奇函数 B偶函数C既奇又偶函数 D非奇非偶函数解析：由题意知sin x1，即f(x)的定义域为x|x2k，kZ，不关于原点对称f(x)是非奇非偶函数易错警示易错原因纠错心得误认为f(x)sin x，从而得到错误答案：A.判断三角函数的奇偶性时，首先要考虑函数的定义域是否关于原点对称，再等价变
8、形，最后再下结论课堂十分钟1(多选)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是()2对于函数ycos ，下列命题正确的是()A周期为2的偶函数 B周期为2的奇函数C周期为的偶函数 D周期为的奇函数3“”是“函数ysin (x)为偶函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知函数ycos (x)，0，是奇函数，则的值为_5设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x时，f(x)4x1，求f的值54.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性新知初探课前预习要点一1非零f(xT)f(x)周期函数非零常数T周期2正
9、数正数要点二2奇偶基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：D3答案：A4答案：奇题型探究课堂解透例1解析：(1)(定义法)2sin 2sin 2sin ，自变量x至少要增加到x4，函数y2sin ，xR的值才能重复出现，函数y2sin ，xR的周期是4.(公式法)：T4.(2)(定义法)12cos 12cos 12cos ，自变量x至少要增加到x4，函数y12cos ，xR的值才能重复出现，函数y12cos ，xR的周期是4.(公式法)：T4.(3)作图如下：观察图象可知最小正周期为.跟踪训练1解析：(1)作图如下：观察图象可知函数f(x)|cos 2x|的周期是.故选A.(2)周期T.答案
10、：(1)A(2)例2解析：(1)A，B是奇函数，D是非奇非偶函数，C中，sin |x|sin |x|，所以是偶函数故选C.(2)显然xR，f(x)cos x，f(x)cos cos xf(x)，f(x)是偶函数1sin x0，sin x1，xR且x2k，kZ.定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数答案：(1)C(2)见解析跟踪训练2解析：函数f(x)|sin x|cos x的定义域是R，且f(x)|sin (x)|cos (x)|sin x|cos x|sin x|cos xf(x)f(x)是偶函数故选B.答案：B例3解析：(1)由题意知，当x时，y可取得最值，将x逐一代入，验证可得B、C
11、正确故选BC.(2)ysin cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有点符合要求故选B.答案：(1)BC(2)B跟踪训练3解析：(1)f(x)cos sin ，且f(x)sin sin f(x)，f(x)是奇函数故选A.(2)由题意，当x时，f(x)sin 1，故k，(kZ)得k，(kZ).当k0时，.故选D.答案：(1)A(2)D例4解析：(1)f(x)sin 为奇函数，则只需k，kZ，所以k，kZ，当k0时，满足题意；当k1时，满足题意，故选BD.(2)ffffsin .答案：(1)BD(2)见解析变式探究解析：ffffsin .跟踪训练4解析：(1)f(x)cos 2x，由余弦函数的图象与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为，且图象关于直线x(kZ)对称，关于点(kZ)对称故选BD.(2)f(x)的周期为，且为奇函数，ffff.而ffff1，f1.答案：(1)BD(2)1课堂十分钟1答案：ABC2答案：D3答案：A4答案：5解析：f(x)的周期为1，fff.又当x时，f(x)4x1，f41，又f(x)是奇函数，ff，f.故f.
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