1、32.2奇偶性最新课程标准结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义学科核心素养1.了解函数奇偶性的概念(数学抽象)2会利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性(逻辑推理)3会利用奇、偶函数的图象(直观想象)4能利用函数的奇偶性解决简单问题(逻辑推理)第1课时函数奇偶性的概念教材要点要点1偶函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数2奇函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数3奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于_成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象
2、是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)偶函数的图象关于_对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数状元随笔奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)已知f(x)是定义在R上的函数若f(1)f(1)，则f(x)一定是偶函数()(2)奇函数的图象一定过原点()(3)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数()(4)f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)0.()2下列函数为奇函数的是()Ay|x|By3xCy1x3 Dyx2143若函数yf(x)，x2，a是
3、偶函数，则a的值为()A2 B2C0 D不能确定4下列图象表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)题型1函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1-x2+x2-1；(2)f(x)2x2+xx+1；(3)f(x)x2-1x；(4)f(x)x1-x，x0x1+x，x0.方法归纳判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数f(x)为非奇偶函数，若对称，则进行下一步验证f(x)f(x)或f(x)f(x)下结论若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，且f(x)为偶函数；若f(x
4、)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称跟踪训练1(1)(多选)下列函数中，是偶函数的是()Ay1+x2 Byx1xCyx21x2 Dyxx2(2)函数f(x)12x2+1，x0，-12x2-1，x0是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数题型2函数奇偶性的图象特征例2已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已知画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示(1)请补出完整函数yf(x)的图象(2)根据图象写出函数yf(x)的递增区间(3)
5、根据图象写出使yf(x)0的x的取值范围方法归纳1巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图象(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(，0(或0，)上对应的函数图象2奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察跟踪训练2设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_题型3利用函数奇偶性求值角度1利用函数的奇偶性求参数例3(1)已知函数f(x)x2(2m)x3为偶函数，
6、则m的值是()A1 B2C3 D4(2)函数f(x)x+2a+3x2+8为奇函数，则实数a()A1 B1C32 D32角度2利用函数的奇偶性求函数值例4(1)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x22，则f(1)g(1)()A2 B1C1 D2(2)已知函数f(x)ax3bx3，且f(2)10，则函数f(2)的值是_方法归纳1已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程(2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值(3)特殊化策略：根据定义域内关
7、于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去2利用函数的奇偶性求函数值的方法已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值跟踪训练3(1)设函数f(x)x+1x+ax为奇函数，则a_(2)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a2，2a，则a_，b_(3)已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)_易错辨析忽视函数的定义域致误例5关于函数f(x)x2-4+4-x2与h(x)x-4+4-x的奇偶性，下列说法正确的是()A两函数均为偶函数B两函数都既是奇函数又
8、是偶函数C函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数D函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数解析：函数f(x)x2-4+4-x2的定义域满足x2-40，4-x20，即x24，因此函数f(x)的定义域为2，2，关于原点对称，此时f(x)0，满足f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数，而函数h(x)x-4+4-x的定义域为4，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数故选D.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视了函数的定义域，直接利用函数奇偶性的定义判断，错选了C.根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域
9、关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足f(x)f(x)，f(x)f(x)判断函数的奇偶性若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数课堂十分钟1(多选)下列函数是奇函数的有()Ayx33x By1x(x0)Cyx31 Dyx2+1x2函数f(x)1-x2x+3-3的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既不是奇函数也不是偶函数D既是奇函数又是偶函数3函数y4xx2+1的图象大致为()4已知函数f(x)-x2+x，x0，ax2+x，x0是奇函数，则a_5已知奇函数f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示(1)画出在区间5，0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取
10、值集合32.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念新知初探课前预习要点3原点y轴基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2答案：C3答案：B4答案：(2)(4)(1)(3)题型探究课堂解透例1解析：(1)函数f(x)1-x2+x2-1的定义域为1，1，关于原点对称，此时f(x)0，所以函数f(x)1-x2+x2-1既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域是(，1)-1，+，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(3)函数f(x)x2-1x的定义域为(，0)0，+，关于原点对称又f(x)-x2-1-xx2-1xf(x)，所以函数f(x)x2-1x是偶函数(4)方法一：函数f(x)的定义域是(，0
11、)0，+，关于原点对称当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)当x0时，x0，f(x)x(1x)f(x)函数f(x)为奇函数方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数跟踪训练1解析：(1)由偶函数的定义可知AC是偶函数故选AC.(2)函数的定义域为(，0)0，+，关于原点对称当x0时，x0，f(x)12(x)21(12x21)f(x)；当x0时，x0，f(x)12(x)2112x21(12x21)f(x)综上可知，函数f(x)12x2+1，x0，-12x2-1，x0是奇函数故选A.答案：(1)AC(2)A例2解析：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据
12、图可知，单调递增区间为(1，0)，(1，).(3)据图可知，使f(x)0的x的取值范围为(2，0)0，2跟踪训练2解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域5，5上的图象如图，由图可知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5答案：x|2x0或2x5例3解析：(1)f(x)(x)2(2m)(x)3x2(2m)x3，由函数yf(x)为偶函数，知f(x)f(x)，即x2(2m)x3x2(2m)x3，2m(2m)，m2.故选B.(2)由题意f(x)为奇函数，则f(0)0，即02a30，a32.此时f(x)xx2+8为奇函数故选C.答案：(1)B(2)C例4解析：(1)f(x)g(
13、x)x3x22，由x代入x得：f(x)g(x)x3x22由题意知f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)x3x22，所以f(1)g(1)1122.故选D.(2)令g(x)ax3bxg(x)a(x3)b(x)ax3bx(ax3bx)g(x)，g(x)为奇函数f(x)g(x)3g(x)3，g(2)7，f(2)g(2)3734.答案：(1)D(2)4跟踪训练3解析：(1)方法一(定义法)由已知f(x)f(x)，即-x+1-x+a-xx+1x+ax.显然x0得，x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.(经检验满足题意)方法二(特值法)由f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即-1
14、+1-1+a-11+11+a1，整理得a1.解析：(2)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a22a0，解得a23.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即b2a0，解得b0.(3)令g(x)x5ax3bx，则g(x)是定义在R上的奇函数从而g(2)g(2)又f(x)g(x)8，f(2)g(2)810.g(2)18，g(2)g(2)18.f(2)g(2)818826.答案：(1)1(2)230(3)26课堂十分钟1答案：AD2答案：A3答案：A4答案：15解析：(1)如图，在0，5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当x(2，0)2，5时，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为(2，0)2，5
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