2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：2-2-2 基本不等式的应用 WORD版含答案.docx

1、第2课时基本不等式的应用题型1利用基本不等式解决恒成立问题例1已知a0，b0，若不等式2a+1bm2a+b恒成立，则m的最大值等于()A10 B9C8 D7方法归纳恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若ay恒成立，则aymin；若ay恒成立，则aymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式跟踪训练1已知两个正数x，y满足xy4，则使不等式1x+4ym恒成立的实数m的范围是_题型2利用基本不等式证明不等式例2已知a，b，c0，求证：a2b+b2c+c2aabc.方法归纳(1)在利用ab2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式ab2ab或a+b2ab(a0，

2、b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc.题型3利用基本不等式解决实际问题例3某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P32x+1(其中0x2)现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(102P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(420P)万元/万件(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润方法归纳

3、利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值(4)正确写出答案跟踪训练32016年11月3日20点43分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时

4、的速度匀速生产(为保证质量要求1x10)，每小时可消耗A材料kx29千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？(消耗的A材料生产时间每小时消耗的A材料)课堂十分钟1当x1时，不等式x1x-1a恒成立，则实数a的取值范围是()Aa|a2 Ba|a2Ca|a3 Da|a32某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备

5、费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件C100件 D120件3设a0，b0, a4b1，则使不等式ta+bab 恒成立的实数t的取值范围是()At8 Bt8Ct9 Dt94已知y4xax(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.5已知a，b，c为不全相等的正数，且abc1.求证：a+b+c1a+1b+1c.第2课时基本不等式的应用题型探究课堂解透例1解析：a0，b02a+1bm2a+b等价于(2ab)2a+1bm又2a+b2a+1b52ba+2ab522ba2ab9，当且仅当2ba2ab，即ab时取等号m9.故选B.答案：B跟踪训练1解析：x0，y0，xy4，1x+4y1

6、x+4y14(xy)145+yx+4xy145+2yx4xy14(54)94.当yx4xy即x43，y83时取等号，1x+4y的最小值是94.m94.答案：m94例2证明：a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，a2bb2a2bb2a.当且仅当a2bb时等号成立b2cc2b2cc2b.当且仅当b2cc时等号成立c2aa2c2aa2c，当且仅当c2aa时等号成立相加得a2bbb2ccc2aa2a2b2c，a2b+b2c+c2aabc.跟踪训练2证明：abc1，(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab)又a，b，c都是正实数，a+b2ab0，b+c2bc0，a+c2ac0，a+bb+ca

7、+c8abc，(1a)(1b)(1c)8abc.当且仅当abc13时，等号成立例3解析：(1)当促销费用为x万元时，付出的成本是：x1023-2x+1销售收入是：3-2x+14+203-2x+1，故y3-2x+14+203-2x+1-x+10+23-2x+1整理可得y16x+4x+1，0x2.(2)根据(1)中所求，y16x+1+4x+1-1162x+14x+1-116313，当且仅当x1时取得最大值故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元跟踪训练3解析：(1)由题意，得k910，即k1.生产m千克该产品需要的时间是mx.所以ymx(x29)mx+9x，1x10.(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为：y1 000x+9x1 000296 000(当且仅当x9x，即x3时等号成立)故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克课堂十分钟1答案：D2答案：B3答案：C4答案：365证明：因为a，b，c都是正数，且abc1，所以1a+1b21ab2c，1b+1c21bc2a，1a+1c21ac2b，三个不等式左、右两边分别相加，得21a+1b+1c2(a+b+c)，当且仅当abc时，等号成立又因为a，b，c不全相等，所以a+b+c1a+1b+1c.