1、2抛物线21抛物线及其标准方程1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程一条抛物线，由于选择坐标系的不同，它在坐标平面内的位置不同，方程也不同抛物线的标准方程有下列四种形式：标准方程y22px(p0)y22px (p0)x22py(p0)x22py (p0)图像焦点坐标FFFF准线方程xxyy开口方向向右向左向上向下 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线的方程都是y关于x的二次函数()(2)二次函数的图像是抛物线()(3)抛物线的焦点到准线的距离是p.()(4)抛
2、物线的开口方向由标准方程的一次项系数的正负确定()答案：(1)(2)(3)(4) 平面内到直线x1的距离与到点(1，0)的距离相等的点的轨迹是()A抛物线By轴Cx轴D直线x1解析：选C其轨迹是过(1，0)且垂直于直线x1的直线，故选C 若抛物线x2ay的焦点坐标为(0，2)，则实数a的值为_解析：x2ay的焦点坐标为，故2，a8答案：8 抛物线yx2的准线方程是_解析：yx2的标准方程为x28y，故该抛物线的准线方程为y2答案：y21对抛物线定义的两点说明(1)定直线l不经过定点F(2)定义中包含三“定”，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值(即抛物线上任一点到定点的距离与到定直线的距
3、离的比为1)2抛物线的焦半径公式抛物线上任意一点P(x0，y0)与抛物线焦点F的连线段，叫作抛物线的焦半径根据抛物线的定义可得焦半径公式对于抛物线y22px(p0)，|PF|x0；对于抛物线y22px(p0)，|PF|x0；对于抛物线x22py(p0)，|PF|y0；对于抛物线x22py(p0)，|PF|y0. 求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y214x；(2)5x22y0；(3)y2ax(a0)解(1)因为p7，所以焦点坐标是，准线方程是x(2)抛物线方程化为标准形式为x2y，因此p，所以焦点坐标是，准线方程是y(3)当a0时知p，所以焦点坐标是，准线方程是
4、x当a0)或x22p2y(p20)分别将点P的坐标代入上述方程，解得p14，p2.因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y28x和x2y(3)令x0，由方程x2y40，得y2所以抛物线的焦点为F(0，2)设抛物线方程为x22py(p0)，则由2，得2p8所以所求抛物线的方程为x28y令y0，由x2y40，得x4所以抛物线的焦点为F(4，0)设抛物线方程为y22px(p0)，由4，得2p16所以所求抛物线的方程为y216x综合，所求抛物线的标准方程为x28y或y216x用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减
5、少讨论情况的个数 2.分别根据下列条件求抛物线的标准方程(1)准线方程为y；(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5解：(1)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，且，则p所以所求抛物线的标准方程为x2y(2)由焦点到准线的距离为5，知p5，又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y210x抛物线定义的应用(1)若动圆M与圆C：(x2)2y21外切，又与直线x10相切，求动圆圆心的轨迹方程；(2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径
6、r1因为两圆外切，所以|MC|R1又动圆M与已知直线x10相切，所以圆心M到直线x10的距离dR所以|MC|d1即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x20为准线的抛物线，且2，p4，故其方程为y28x(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P点、(0，2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d 1若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值解：将x3代入y22x，得y所以A在抛物线内部设P为其上一点，P到准线(设为l)x的距离为d，则|PA|PF
7、|PA|d由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值是.即|PA|PF|的最小值是2若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x4y0，求点P到直线3x4y0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值解：如图作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|PQ|PA1|PF|A1F|minA1F的最小值为F到直线3x4y0的距离d1.即所求最小值为1抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线
8、的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 3.(1)抛物线y24x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x()A4B3C2D1(2)已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，动圆M和圆A外切并与直线l相切，则动圆的圆心M的轨迹方程为_解析：(1)由抛物的定义知点M到焦点的距离等于M到准线的距离，故M到准线的距离3x(1)，即x2(2)如图，作MK垂直于直线x1，垂足为K，延长MK与直线x2交于点H，则|KH|1，设圆M的半径为r，则|MH|r1.又动圆M和圆A外切，所以|MA|r1，所以|MH|MA|，故点M到圆心A(2，0)的距离和到直线x2的距离相等，根据抛物线的定义知点M的轨迹是以
9、A(2，0)为焦点的抛物线，故2，即p4，所以点M的轨迹方程为y28x答案：(1)C(2)y28x易错警示因忽略抛物线定义中的限制条件致误若动点P到定点F(1，1)的距离与它到直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是_(填椭圆、抛物线或直线)解析设动点P的坐标为(x，y)，则由题意可得，整理，得x3y20.即P点的轨迹是直线x3y20答案直线本例易忽略抛物线定义中的限制条件(定点不在定直线上)而错填为抛物线要注意定义中的限制条件，不能忽略1抛物线y24x的焦点坐标是()A(0，2)B(0，1)C(2，0)D(1，0)解析：选D由题意得2p4，p2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)2已知抛物
10、线C：y22x上一点P到y轴的距离为3，则P到焦点的距离为()A2BCD3解析：选C由抛物线的定义知：P到焦点的距离等于P到准线的距离33已知抛物线x24y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是()A0BC1D2解析：选C设M(x0，y0)，由抛物线的定义知，M到焦点的距离等于M到准线的距离，故M到准线的距离d2y0(1)y01，即y014在平面直角坐标系xOy中，焦点为(2，0)的抛物线的标准方程为_解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y22px(p0)，焦点坐标为，即2，p4，故y28x答案：y28x5已知点A(1，0)，抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)在抛物线上，
11、且|AP|PF|，则|OP|_解析：因为|AP|PF|，所以PAF45，所以AP的直线方程为yx1，联立y24x，可得P(1，2)，所以|OP|答案：A基础达标1已知点P为抛物线y22px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l()A相交B相切C相离D位置由F确定解析：选B圆心P到准线l的距离等于|PF|，所以相切2已知P(8，a)在抛物线y24px(p0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2B4C8D16解析：选B由题意可知准线方程为xp，所以8p10，所以p2所以焦点到准线的距离为2p43在同一坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0
12、)的曲线大致是()解析：选Da2x2b2y21其标准方程为1，因为ab0，所以0)，其准线为x1，得p2.故该抛物线的标准方程为y24x答案：y24x7已知O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点， 若4，则点A的坐标是_解析：因为抛物线y24x的焦点为F(1，0)，设A的坐标为，则，由4得y12y640，即y02，所以点A的坐标为(1，2)或(1，2)答案：(1，2)或(1，2)8已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为_解析：因为|AF|BF|xAxB3，所以xAxB所以线段AB的中点到y轴的距离为答案：9已知抛
13、物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程解：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点F的坐标为因为M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得所以所求的抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y210某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高5 m时，桥洞水面宽为8 m，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题一只宽4 m，高2 m的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为 m，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为几米？解：以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系设当水面涨到与抛物线拱顶相距h m时，船恰好能
14、通过设抛物线方程为x22py(p0)，因为A(4，5)在抛物线上，所以422p(5)，得p，故x2y当船恰好能通过时，设船宽等于BB，则点B的横坐标为2，代入x2y，得点B的纵坐标 y，所以h|y|2，因此，水面距离拱顶至少2 m，船才能顺利通过此桥B能力提升11已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A4B2C1D8解析：选C如图，F，过A作AA准线l，所以|AF|AA|，所以x0x0x0，所以x0112已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作直线l的垂线PM，垂足为M，已知PFM为等边三角形，则PFM的面积
15、为_解析：设l与x轴交于点A，则|AF|p，因为AFM60，所以|MF|2|AF|2p，所以SPFM(2p)2p2答案：p213如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2，所以抛物线的方程为y24x(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，所以kAF，则FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则MN的方程为yx
16、2解方程组得所以N14(选做题)已知点A(3，2)，点M到F的距离比它到y轴的距离大(1)求点M的轨迹方程；(2)是否存在M，使|MA|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由于动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等，由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1，2p2，故轨迹方程为y22x(2)存在M.理由如下：由题意得A(3，2)在抛物线内部，如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0，2)，代入抛物线方程得x02，即M(2，2)