1、3.2函数与方程、不等式之间的关系课后篇巩固提升合格考达标练1.如图所示的四个函数图像,在区间(-,0)内,函数fi(x)(i=1,2,3,4)中有零点的是()A.f1(x)B.f2(x)C.f3(x)D.f4(x)答案B解析由函数图像可知,f2(x)在(-,0)内与x轴有交点,故f2(x)在(-,0)内有零点.2.(多选题)函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点所在的区间可能是()A.0,52B.52,4C.1,74D.74,52答案AD解析由于f(0)0,f(-2)0,f(1)0,f740,所以零点在区间74,52,0,52内.3.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x
2、)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为()x-10123g(x)0.3712.727.3920.39A.-1,0B.0,1C.1,2D.2,3答案C4.已知函数f(x)在区间a,b上单调,且图像是连续不断的,若f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,b上()A.至少有一个实数根B.至多有一个实数根C.没有实数根D.必有唯一的实数根答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数,f(a)f(b)0,函数f(x)在区间a,b上至少有一个零点,函数f(x)在区间a,b上是单调函数,函数f(x)在区间a,b上至多有一个零点,故函数f(x)在区间a,b上有且只有一个零点,即方程
3、f(x)=0在区间a,b内必有唯一的实数根.故选D.5.若函数f(x)在定义域x|x0内是偶函数,且在(0,+)内是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断答案B解析函数f(x)在(0,+)内是减函数,f(2)=0,f(x)在(0,+)内的图像与x轴只有一个交点,又f(x)在定义域x|x0上是偶函数,f(x)在(-,0)内的图像与x轴也只有一个交点,即f(-2)=0.故选B.6.(2020福建高三学业考试)已知函数f(x)=x2+x,x0,x2-2x,x0,则函数f(x)的零点个数为.答案3解析当x0的解集是.答案x|x3解析由题表可知f(-2)
4、=f(3)=0,且当x(-2,3)时,f(x)0.8.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.解设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由题意知f(0)0,f(1)0,即2k-10,3k-20,解得12k23,即实数k的取值范围是12,23.9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有200多根电线杆.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解可以利用二分法的
5、原理进行查找.如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50m100m之间,即一、二根电线杆附近.等级考提升练10.(多选题)若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)0,f(2)0,则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点答案AC解
6、析因为f(0)0,f(2)0,所以f(0)f(1)0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.故选AC.11.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是()A.(-,-1)B.(1,+)C.(-1,1)D.0,1)答案B解析令f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a0时,若=0,即a=-18,此时x=-2,不符合题意;若0,即a-18,则有f(0)f(1)=-1(2a-2)1.12.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则()A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0D.a0,b0,c0,可得a0.又f(x)=ax3
7、+bx2+cx+d,所以b=a0,c=-2a0,b0,c0.13.在R上定义运算:AB=A(1-B),若不等式(x-a)(x+a)1对任意的实数xR恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-1,1)B.(0,2)C.-12,32D.-32,12答案C解析(x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a),不等式(x-a)(x+a)1,即(x-a)(1-x-a)0对任意实数x恒成立,所以=1-4(-a2+a+1)0,解得-12a32,故选C.14.函数f(x)=x2-1x+1的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析令f(x)=0得x2-1x+1=0,x2+1=1x,作出函数y=x2+1与y=
8、1x的图像,由于两个函数的图像只有一个交点,所以零点个数为1.15.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)上,则下一步可判定该根所在区间为.答案32,2解析令函数f(x)=x3-2x-1,则可得f(1)=13-21-1=-20,又f32=323-232-1=-580,则下一步可判定该根所在区间为32,2.16.定义在R上的偶函数y=f(x)在0,+)内是减函数,函数f(x)的一个零点为12,求f(x2-x)0的解集.解f(x)是偶函数,f(-x)=f(x)=f(|x|),又函数f(x)的一个零点为12,f12=0.由f(x)在0,+)内是减函数,得
9、f(x2-x)=f(|x2-x|)12,解得x1+32.f(x2-x)0的解集为xx1+32.17.已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点.(1)求m的范围;(2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m的值.解(1)当m+6=0,即m=-6时,函数为y=-14x-5显然有零点,当m+60,即m-6时,由=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-200,得m-59.当m-59,且m-6时,二次函数有零点.综上,m的取值范围为-,-59.(2)设x1,x2是函数的两个零点,则有x1+x2=-2(m-1)m+6,x1x2=m+1m+6.1x1+1x2=-
10、4,即x1+x2x1x2=-4,-2(m-1)m+1=-4,解得m=-3.当m=-3时,m+60,0符合题意,m的值为-3.新情境创新练18.已知函数f(x)=2x2-8x+m+3为R上的连续函数.(1)若函数f(x)在区间-1,1上存在零点,求实数m的取值范围;(2)若m=-4,判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点?若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.解(1)易知函数f(x)在区间-1,1上单调递减,f(x)在区间-1,1上存在零点,f(-1)0,f(1)0,即2+8+m+30,2-8+m+30,-13m3,实数m的取值范围是-13,3.(2)存在.当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,易求出f(-1)=9,f(1)=-7.f(-1)f(1)0,f(x)在区间(-1,1)上单调递减,函数f(x)在(-1,1)上存在唯一零点x0.f(0)=-10,f(-1)f(0)0.2,f-12=720,f-12f(0)0.2,f-14=980,f-14f(0)0.2,f-18=1320,f-18f(0)0,x0-18,0.此时-18-0=1815=0.2,满足精确度,停止二分,所求区间为-18,0.
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